Dreiecke/Als Vektorraum/Untervektorräume/Aufgabe

Wir fassen die Menge aller (auch entarteter, geordneter) Dreiecke ${}\triangle =(A,B,C)$ im ${}\mathbb {R} ^{2}$ über ihre Koordinaten ${}A=(A_{1},A_{2}),B=(B_{1},B_{2}),C=(C_{1},C_{2})$ als den Vektorraum ${}\mathbb {R} ^{6}$ auf. Insbesondere kann man so Dreiecke miteinander addieren und mit einem Skalar ${}s\in \mathbb {R}$ multiplizieren.

a) Zeige, dass die Dreiecke ${}\triangle$ und ${}s\triangle$ mit ${}\triangle$ nichtausgeartet und ${}s\neq 0$ zueinander ähnlich sind.

b) Es sei ${}S$ der Schwerpunkt des Dreiecks ${}(A,B,C)$. Zeige, dass die Dreiecke

$(A,B,C),\,(B,C,A),\,(C,A,B){\text{ und }}(S,S,S)$

linear abhängig sind.

c) Bestimme, ob die folgenden Mengen an Dreiecken Untervektorräume des Dreiecksraumes bilden oder nicht. Wenn ja, so bestimme ihre Dimension.

1. Die Menge aller nichtentarteten Dreiecke.
2. Die Menge aller Dreiecke mit ${}0$ als erstem Eckpunkt.
3. Die Menge aller Dreiecke mit Schwerpunkt ${}0$.
4. Die Menge aller gleichseitigen Dreiecke.
5. Die Menge aller Dreiecke, deren Umkreis der Einheitskreis ist.
6. Die Menge aller zu einem Punkt zusammengeschrumpften Dreiecke.
7. Die Menge aller rechtwinkligen Dreiecke.
8. Die Menge aller rechtwinkligen Dreiecke, deren rechter Winkel sich als erster Punkt in ${}0$ befindet und deren zweiter Punkt auf der ${}x$-Achse liegt.
9. Die Menge aller Dreiecke mit Höhenschnittpunkt in ${}0$.

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