Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 41/latex

\setcounter{section}{41}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} der Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}}{} und den Kern der \definitionsverweis {transponierten Matrix}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {winkeltreue Abbildung}{}{} auf einem \definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{} $V$. Zeige, dass die \definitionsverweis {adjungierte Abbildung}{}{} ebenfalls winkeltreu ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und einer \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {.} Es seien \maabbdisp {\varphi, \psi} {V} {V } {} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.} Zeige, dass $\psi$ genau dann die \definitionsverweis {adjungierte Abbildung}{}{} zu $\varphi$ ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \varphi(v_i) , v_j \right\rangle }
{ =} { \left\langle v_i , \psi(v_j ) \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{i,j \in I}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3 } {} werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5-2 { \mathrm i} & 3-7 { \mathrm i} & 4-7 { \mathrm i} \\ 1-8 { \mathrm i} & 9-2 { \mathrm i} & 17 { \mathrm i} \\6 & 8-9 { \mathrm i} & 2-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Bestimme die Matrix des \definitionsverweis {adjungierten Endomorphismus}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {\R^2} { \R^2 } {} werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} -3 & 7 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}}{} beschrieben. Auf dem $\R^2$ sei ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} $\Psi$ durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Psi(e_1,e_1) }
{ = }{4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Psi(e_2,e_2) }
{ = }{5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Psi(e_1,e_2) }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Bestimme die Matrix des \definitionsverweis {adjungierten Endomorphismus}{}{} zu $\varphi$ bezüglich des gegebenen Skalarproduktes und bezüglich der Basis
\mathl{\begin{pmatrix} 3 \\-5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\4 \end{pmatrix}}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {adjungierte Endomorphismus}{}{} folgende Eigenschaften erfüllt. \aufzaehlungvier{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \varphi + \psi \right) }^{\hat{} } }
{ =} {\hat{ \varphi } + \hat{ \psi } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( s \varphi \right) }^{\hat{} } }
{ =} { \overline{ s } \hat{ \varphi } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \hat{ \varphi } \right) }^{\hat{} } }
{ =} { \varphi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \varphi \circ \psi \right) }^{\hat{} } }
{ =} { \hat{ \psi } \circ \hat{ \varphi } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{} und \maabb {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} mit \definitionsverweis {adjungiertem Endomorphismus}{}{}
\mathl{\hat{ \varphi }}{.} Es sei \maabb {\psi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{.} Zeige, dass der adjungierte Endomorphismus zu \maabbdisp {\psi \circ \varphi \circ \psi^{-1}} {W} {W } {} gleich
\mathl{\psi \circ \hat{ \varphi } \circ \psi^{-1}}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler \definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} und einer ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {.} Es sei $\hat{ \varphi }$ der \definitionsverweis {adjungierte Endomorphismus}{}{} zu $\varphi$. Zeige, dass $\hat{ \varphi }$ mit dem adjungierten Endomorphismus zu $\varphi$, aufgefasst als reell-lineare Abbildung, bezüglich des zugehörigen reellen Skalarproduktes übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } } { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } } {\varphi} { \hat{ \varphi } } {,} \definitionsverweis {antilinear}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} {V_1 \oplus V_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {direkte Summe}{}{} der Untervektorräume \mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {.} Es seien \maabbdisp {\varphi_1} {V_1} {V_1 } {} und \maabbdisp {\varphi_2} {V_2} {V_2 } {} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi }
{ =} { \varphi_1 \oplus \varphi_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Summe davon. \aufzaehlungzwei {Die Summenzerlegung sei zusätzlich orthogonal, d.h. \mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {} stehen senkrecht aufeinander. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \hat{ \varphi } }
{ =} { \hat{ \varphi_1 } \oplus \hat{ \varphi_2 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Zeige, dass die Aussage aus Teil (1) nicht gilt, wenn die Summenzerlegung nicht orthogonal ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} mit dem \definitionsverweis {Dualraum}{}{} ${ V }^{ * }$. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle f , g \right\rangle }
{ \defeq} { \left\langle \operatorname{Grad} \, f , \operatorname{Grad} \, g \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} auf dem Dualraum erklärt wird. } {Zeige, dass die natürliche Abbildung \maabbeledisp {} {V} { { V }^{ * } } {v} { \left\langle v , - \right\rangle } {,} eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} zwischen \mathkor {} {V} {und} {{ V }^{ * }} {} stiftet. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{Die Identität ist \definitionsverweis {selbstadjungiert}{}{.} }{Die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei selbstadjungierten Abbildungen ist wieder selbstadjungiert. }{Zu einer \definitionsverweis {bijektiven}{}{} selbstadjungierten Abbildung ist auch die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} selbstadjungiert. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {selbstadjungierter}{}{} Endomorphismus und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass auch die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} \maabbdisp {\varphi{{|}}_U} {U} {U } {} selbstadjungiert ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass es zu jeder \definitionsverweis {Linearform}{}{}
\mathl{f \in { V }^{ * }}{} einen eindeutig bestimmten Vektor
\mathl{y \in V}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(v) }
{ =} { \left\langle y , v \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{v \in V}{} und einen eindeutig bestimmten Vektor
\mathl{z \in V}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(v) }
{ =} { \left\langle v , z \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{v \in V}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {selbstadjungierten Endomorphismen}{}{} von $V$ einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} in
\mathl{\operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} auf einem \definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{} $V$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {selbstadjungiert}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $\varphi$ gleich $1$ oder gleich $2$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {reell-symmetrische}{}{} $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.} Zeige, dass $M$ einen \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$. Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} das durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v_i , v_j \right\rangle }
{ =} { \begin{cases} 1, \text{ falls } i = j, \\ 0 \, \text{ sonst}, \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} auf $V$. Zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} bezeichne
\mathl{\Psi_\varphi}{} die \zusatzklammer {über \mathlk{\left\langle - , - \right\rangle}{}} {} {} zugehörige \definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} von $\Psi_\varphi$ bezüglich der Basis mit der \definitionsverweis {beschreibenden Matrix}{}{} von $\varphi$ bezüglich der Basis übereinstimmt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien $V_1 , \ldots , V_n, V_{n+1}$ \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über ${\mathbb C}$, es seien \maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_{i+1} } {} \definitionsverweis {lineare}{}{} oder \definitionsverweis {antilineare}{}{} Abbildungen und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi }
{ =} { \varphi_n \circ \varphi_{n-1} \circ \cdots \circ \varphi_2 \circ \varphi_1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} der Abbildungen. Zeige durch Induktion über $n$ die beiden folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen gerade ist, so ist $\varphi$ linear. } {Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen ungerade ist, so ist $\varphi$ antilinear. }

Gilt von diesen Aussagen auch die Umkehrung?

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Die \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {\R^2} { \R^2 } {} werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} -6 & -3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}}{} beschrieben. Auf dem $\R^2$ sei ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} $\Psi$ durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Psi(e_1,e_1) }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Psi(e_2,e_2) }
{ = }{7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Psi(e_1,e_2) }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Bestimme die Matrix des \definitionsverweis {adjungierten Endomorphismus}{}{} zu $\varphi$ bezüglich des gegebenen Skalarproduktes und bezüglich der Basis
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\-3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\-7 \end{pmatrix}}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^2} { \R^2 } {} die \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,} die bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\6 \end{pmatrix}}{} durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 7 \end{pmatrix}}{} gegeben sei. Bestimme die Matrix zum \definitionsverweis {adjungierten Endomorphismus}{}{} von $\varphi$ bezüglich dieser Basis.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}^2} { {\mathbb C}^2 } {} die \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,} die bezüglich der \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 4 & -2+ 9 { \mathrm i} \\ -2-9 { \mathrm i} & 5 \end{pmatrix}}{} gegeben sei. Bestimme die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} und die \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} von $\varphi$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4 (1+1+1+1)}
{

Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}} { , }
aufgefasst als lineare Abbildung von $\R^2$ nach $\R^2$, nicht \definitionsverweis {selbstadjungiert}{}{} ist, und zwar mit den folgenden Methoden. \aufzaehlungvier{Bestimme die \definitionsverweis {adjungierte Abbildung}{}{} zu $M$. }{Lemma 41.10  (1) ist nicht erfüllt. }{Lemma 41.10  (3) ist nicht erfüllt. }{Es gibt keine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} von $\R^2$ aus \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} zu $M$ \zusatzklammer {d.h. die Konklusion aus Satz 41.11 ist nicht erfüllt.} {} {} }

}
{} {}