Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Definitionsliste

Definition:Skalarprodukt

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist

   ${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

   für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {K} }$, ${}x_{1},x_{2},y\in V$ und

   ${}\left\langle x,\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right\rangle ={\overline {\lambda _{1}}}\left\langle x,y_{1}\right\rangle +{\overline {\lambda _{2}}}\left\langle x,y_{2}\right\rangle \,$

   für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {K} }$, ${}x,y_{1},y_{2}\in V$.

2. Es ist

   ${}\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\,$

   für alle ${}v,w\in V$.

3. Es ist ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ und ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.

Definition:Euklidischer Vektorraum

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Definition:Standardskalarprodukt (reell)

Das auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ durch

${}\left\langle u,v\right\rangle :=\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\,$

gegebene Skalarprodukt heißt Standardskalarprodukt.

Definition:Standardskalarprodukt (komplex)

Das auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$ durch

${}\left\langle u,v\right\rangle :=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\overline {v_{i}}}\,$

gegebene Skalarprodukt heißt (komplexes) Standardskalarprodukt.

Definition:Norm (zu Skalarprodukt)

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann nennt man zu einem Vektor ${}v\in V$ die reelle Zahl

${}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$

die Norm von ${}v$.

Definition:Norm

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum. Eine Abbildung

$\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$

heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

1. Es ist ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$ für alle ${}v\in V$.
2. Es ist ${}\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ und ${}v\in V$ gilt

   ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

4. Für ${}v,w\in V$ gilt

   ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

Definition:Normierter Vektorraum

Ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum heißt normierter Vektorraum, wenn auf ihm eine Norm ${}\Vert {-}\Vert$ definiert ist.

Definition:Metrischer Raum

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}d{\left(x,y\right)}=0$ genau dann, wenn ${}x=y$ ist (Definitheit),
2. ${}d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$ (Symmetrie), und
3. ${}d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$ (Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar ${}(M,d)$, wobei ${}M$ eine Menge und ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ eine Metrik ist.

Definition:Metrik in normiertem Vektorraum

Auf einem normierten Vektorraum ${}V$ mit Norm ${}\Vert {-}\Vert$ definiert man die zugehörige Metrik durch

${}d(v,w):=\Vert {v-w}\Vert \,.$

Definition:Orthogonal

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Man nennt zwei Vektoren ${}v,w\in V$ orthogonal zueinander (oder senkrecht), wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

ist.

Definition:Orthogonales Komplement

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann heißt

${}U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,$

das orthogonale Komplement von ${}U$.

Definition:Orthogonalbasis

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Eine Basis ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von ${}V$ heißt Orthogonalbasis, wenn

$\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$

gilt.

Definition:Orthonormalbasis

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Eine Basis ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von ${}V$ heißt Orthonormalbasis, wenn

$\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für alle }}i\in I{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$

gilt.

Definition:Kreuzprodukt

Zu einem Körper ${}K$ ist auf dem ${}K^{3}$ durch

${}x\times y={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\-x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}\,$

eine Verknüpfung erklärt, die das Kreuzprodukt heißt.

Definition:Isometrie

Es seien ${}V,W$ Vektorräume über ${}{\mathbb {K} }$ mit Skalarprodukten und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ eine Isometrie, wenn

${}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,$

für alle ${}v,w\in V$ gilt.

Definition:Orthogonale Gruppe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}E_{n}$ die Einheitsmatrix der Länge ${}n$. Eine Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ mit

${}{M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$

heißt orthogonale Matrix. Die Menge aller orthogonalen Matrizen heißt orthogonale Gruppe, sie wird mit

${}\operatorname {O} _{n}\!{\left(K\right)}={\left\{M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\mid {M^{\text{tr}}}M=E_{n}\right\}}\,$

bezeichnet.

Definition:Unitäre Gruppe

Eine Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ mit

${}{{\overline {M}}^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$

heißt unitäre Matrix. Die Menge aller unitären Matrizen heißt unitäre Gruppe, sie wird mit

${}\operatorname {U} _{n}\!={\left\{M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\mid {{\overline {M}}^{\text{tr}}}M=E_{n}\right\}}\,$

bezeichnet.

Definition:Eigentliche Isometrie

Eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich ${}1$ ist.

Definition:Spezielle orthogonale Gruppe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Eine orthogonale ${}n\times n$- Matrix ${}M$ mit

${}\det M=1\,$

heißt spezielle orthogonale Matrix. Die Menge aller speziellen orthogonalen Matrizen heißt spezielle orthogonale Gruppe, sie wird mit ${}\operatorname {SO} _{n}\!{\left(K\right)}$ bezeichnet.

Definition:Spezielle unitäre Gruppe

Eine unitäre ${}n\times n$- Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ mit

${}\det M=1\,$

heißt spezielle unitäre Matrix. Die Menge aller speziellen unitären Matrizen heißt spezielle unitäre Gruppe, sie wird mit ${}\operatorname {SU} _{n}$ bezeichnet.

Definition:Winkeltreue Abbildung

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

zwischen euklidischen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren ${}u,v\in V$ die Beziehung

${}\angle (\varphi (u),\varphi (v))=\angle (u,v)\,$

gilt.

Definition:Abstand von Teilmengen

Zu zwei nichtleeren Teilmengen ${}A,B\subseteq M$ in einem metrischen Raum ${}M$ nennt man

${}d(A,B):=\inf {\left(d(P,Q),\,P\in A,\,Q\in B\right)}\,$

den Abstand der Teilmengen ${}A$ und ${}B$.

Definition:Kongruenz von Dreiecken

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene heißen kongruent, wenn sie durch die Hintereinanderschaltung von Verschiebungen und Isometrien ineinander überführt werden können.

Definition:Ähnlichkeit von Dreiecken

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene heißen ähnlich, wenn sie durch die Hintereinanderschaltung von Verschiebungen und winkeltreuen Abbildungen ineinander überführt werden können.

Definition:Rechtwinkliges Dreieck

Ein Dreieck ${}(A,B,C)$ heißt rechtwinklig, wenn an einem Eckpunkt die anliegenden Seiten orthogonal zueinander sind.

Definition:Hypotenuse

Unter der Hypotenuse versteht man die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.

Definition:Kathete

Unter einer Kathete versteht man eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die an den rechten Winkel anliegt.

Definition:Höhe

Zu einem Dreieck ${}A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt die Gerade durch ${}A$, die senkrecht auf der Geraden durch ${}B$ und ${}C$ steht, die Höhengerade durch ${}A$. Die Verbindungsstrecke von ${}A$ zur Geraden durch ${}B$ und ${}C$ heißt Höhe durch ${}A$.

Definition:Höhenfußpunkt

In einem Dreieck ${}A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der Höhe durch ${}A$ mit der Geraden durch ${}B$ und ${}C$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe.

Definition:Schwerpunkt

Zu einer Menge von ${}n$ Punkten ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ in einem affinen Raum ${}E$ über einem reellen Vektorraum ${}V$ nennt man die baryzentrische Kombination

${\frac {1}{n}}P_{1}+{\frac {1}{n}}P_{2}+\cdots +{\frac {1}{n}}P_{n}$

den Schwerpunkt der Punkte.

Definition:Seitenhalbierende

Zu einem nichtausgearteten Dreieck ${}A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt die Gerade

${\frac {B+C}{2}}+s{\left(A-{\frac {B+C}{2}}\right)},\,s\in \mathbb {R} ,$

die Seitenhalbierende durch ${}A$

Definition:Mittelsenkrechte

Zu zwei Punkten ${}A\neq B$ in der euklidischen Ebene nennt man die Gerade, die senkrecht auf der durch ${}A$ und ${}B$ gegebenen Gerade steht und durch den Mittelpunkt der Strecke zwischen ${}A$ und ${}B$ verläuft, die Mittelsenkrechte der Strecke.

Definition:Umkreismittelpunkt

Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten in einem nichtausgearteten Dreieck in der euklidischen Ebene heißt Umkreismittelpunkt.

Definition:Winkelhalbierende

Zu zwei linear unabhängigen Vektoren ${}v$ und ${}w$ in einem normierten reellen Vektorraum ${}V$ nennt man die von

${\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}+{\frac {w}{\Vert {w}\Vert }}$

erzeugte Gerade die Winkelhalbierende der beiden Strahlen.

Definition:Inkreismittelpunkt

Der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden in einem nichtausgearteten Dreieck in der euklidischen Ebene heißt Inkreismittelpunkt.

Definition:Höhenschnittpunkt

Zu einem nichtausgearteten Dreieck ${}A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der drei Höhen der Höhenschnittpunkt.

Definition:Bilinearform

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

heißt Bilinearform, wenn für alle ${}v\in V$ die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

und für alle ${}w\in V$ die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

${}K$- linear sind.

Definition:Nicht ausgeartete Bilinearform

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Eine Bilinearform

$V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

heißt nicht ausgeartet, wenn für alle ${}v\in V,\,v\neq 0$, die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

und für alle ${}w\in V,\,w\neq 0$, die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

nicht die Nullabbildung sind.

Definition:Gramsche Matrix (Bilinearform)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Dann heißt die ${}n\times n$- Matrix

$\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$

die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis.

Definition:Symmetrische Bilinearform

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

für alle ${}v,w\in V$ gilt.

Definition:Orthogonal (Bilinearform)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Zwei Vektoren ${}v,w\in V$ heißen orthogonal, wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

ist.

Definition:Orthogonalbasis (Bilinearform)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Eine Basis ${}v_{i},\,i\in I$, von ${}V$ heißt Orthogonalbasis, wenn

${}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0\,$

für alle

${}i\neq j\,$

ist.

Definition:Ausartungsraum

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Der Untervektorraum

${\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in V\right\}}$

heißt Ausartungsraum zur Bilinearform.

Definition:Definitheit einer symmetrischen Bilinearform

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Diese Bilinearform heißt

1. positiv definit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle ${}v\in V$, ${}v\neq 0$ ist.
2. negativ definit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle <0$ für alle ${}v\in V$, ${}v\neq 0$ ist.
3. positiv semidefinit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ ist.
4. negativ semidefinit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle \leq 0$ für alle ${}v\in V$ ist.
5. indefinit, wenn ${}\left\langle -,-\right\rangle$ weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.

Definition:Typ einer symmetrischen Bilinearform

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Man sagt, dass eine solche Bilinearform den Typ

$(p,q)$

besitzt, wobei

${}p:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ positiv definit}}\right)}}\,$

und

${}q:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ negativ definit}}\right)}}\,$

ist.

Definition:Vollständige Dualität

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume über ${}K$ und

$\Psi \colon V\times W\longrightarrow K$

sei eine Bilinearform. Man sagt, dass ${}\Psi$ eine vollständige Dualität definiert, wenn die Abbildung

$V\longrightarrow {W}^{*},\,v\longmapsto {\left(w\mapsto \Psi (v,w)\right)},$

bijektiv ist.

Definition:Minkowski-Raum

Ein reeller Vektorraum der Dimension ${}n$ mit einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(n-1,1)$ heißt Minkowski-Raum.

Definition:Lichtartiger Vektor

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Ein Vektor ${}v\in V$ mit

${}\left\langle v,v\right\rangle =0\,$

heißt lichtartig, ein Vektor ${}v\in V$ mit

${}\left\langle v,v\right\rangle <0\,$

heißt zeitartig und ein Vektor ${}v\in V$ mit

${}\left\langle v,v\right\rangle >0\,$

heißt raumartig.

Definition:Beobachtervektor

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum mit einer Minkowski-Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Die Vektoren ${}v\in V$ mit

${}\left\langle v,v\right\rangle =-1\,$

heißen Beobachtervektoren oder Vierergeschwindigkeit eines Beobachters.

Definition:Relativgeschwindigkeit

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum und seien ${}B$ und ${}C$ Beobachter mit den Vierergeschwindigkeiten ${}v$ und ${}w$. Dann nennt man den Vektor

${}v_{BC}=-v-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle }}w\,$

den Geschwindigkeitsvektor von ${}C$ relativ zu ${}B$. Man nennt

${}\rho _{BC}={\sqrt {1-{\frac {1}{\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}}}\,$

die Relativgeschwindigkeit der beiden Beobachter.

Definition:Vektorraum der Bilinearformen

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über dem Körper ${}K$. Die Menge aller Bilinearformen auf ${}V$, versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation, heißt Vektorraum der Bilinearformen. Er wird mit ${}\operatorname {Bilin} _{}{\left(V\right)}$ bezeichnet.

Definition:Antilineare Abbildung

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$. Eine Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt antilinear (oder semilinear), wenn

${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)\,$

für alle ${}u,v\in V$ und wenn

${}\varphi (\lambda v)={\overline {\lambda }}\varphi (v)\,$

für alle ${}v\in V$ und ${}\lambda \in \mathbb {C}$ gilt.

Definition:Sesquilinearform

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum. Eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

heißt Sesquilinearform, wenn für alle ${}v\in V$ die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

${}{\mathbb {C} }$- antilinear und für alle ${}w\in V$ die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

${}{\mathbb {C} }$- linear sind.

Definition:Gramsche Matrix (Sesquilinearform)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum zusammen mit einer Sesquilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Dann heißt die ${}n\times n$- Matrix

$\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$

die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis.

Definition:Hermitesche Form

Eine Sesquilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem komplexen Vektorraum ${}V$ heißt hermitesch, wenn

${}\left\langle v,u\right\rangle ={\overline {\left\langle u,v\right\rangle }}\,$

für alle ${}u,v\in V$ ist.

Definition:Hermitesche Matrix

Eine quadratische komplexe Matrix

${}M=(a_{ij})_{ij}\,$

heißt hermitesch, wenn

${}a_{ij}={\overline {a_{ji}}}\,$

für alle ${}i,j$ gilt.

Definition:Minkowski-Raum

Ein reeller Vektorraum der Dimension ${}n$ mit einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(n-1,1)$ heißt Minkowski-Raum.

Definition:Adjungierter Endomorphismus

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Man nennt einen Endomorphismus

$\psi \colon V\longrightarrow V$

adjungiert zu ${}\varphi$, wenn

${}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\left\langle v,\psi (w)\right\rangle \,$

für alle ${}v,w\in V$ gilt.

Definition:Selbstadjungierter Endomorphismus

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Dann heißt ${}\varphi$ selbstadjungiert, wenn

${}\left\langle \varphi (u),v\right\rangle =\left\langle u,\varphi (v)\right\rangle \,$

für alle ${}u,v\in V$ gilt.

Definition:Vertauschbar

Lineare Abbildungen

$\varphi ,\psi \colon V\longrightarrow V$

auf einem ${}K$- Vektorraum heißen vertauschbar, wenn

${}\psi \circ \varphi =\varphi \circ \psi \,$

gilt.

Definition:Normaler Endomorphismus

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Ein Endomorphismus

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

heißt normal, wenn ${}\varphi$ und der adjungierte Endomorphismus ${}{\hat {\varphi }}$ vertauschbar sind.

Definition:Monom

Zu einer Variablenmenge ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ und einem ${}n$- Tupel ${}(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ nennt man einen Ausdruck der Form ${}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}$ ein Monom in den ${}X_{i}$.

Definition:Polynom in mehreren Variablen

Unter einem Polynom ${}F$ in den Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ über einem Körper ${}K$ versteht man eine endliche Linearkombination von Monomen

${}F=\sum _{\nu }c_{\nu }X^{\nu }\,$

mit ${}c_{\nu }\in K$.

Definition:Polynomring in n Variablen

Zu einem Körper ${}K$ und einer Variablenmenge ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ besteht der Polynomring

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$

aus allen Polynomen ${}F(X_{1},\ldots ,X_{n})$ in diesen Variablen, wobei diese Menge durch die komponentenweise Addition und die Multiplikation, die sich durch die distributive Fortsetzung der Regel

${}X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}\cdot X_{1}^{s_{1}}\cdots X_{n}^{s_{n}}:=X_{1}^{r_{1}+s_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}+s_{n}}\,$

ergibt, zu einem kommutativen Ring gemacht wird.

Definition:Nullstellengebilde

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom in ${}n$ Variablen. Dann nennt man

${\left\{P\in K^{n}\mid F(P)=0\right\}}$

das Nullstellengebilde (oder Nullstellenmenge) zu ${}F$.

Definition:Quadratisches Polynom

Unter einem quadratischen Polynom ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper ${}K$ versteht man ein Polynom vom Grad ${}2$, also einen Ausdruck der Form

${}F=\sum _{i\leq j}a_{ij}X_{i}X_{j}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}X_{i}+c\,$

mit ${}a_{ij},b_{i},c\in K$.

Definition:Quadratische Form zu Bilinearform

Zu einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ nennt man die Abbildung

$V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,v\right\rangle ,$

die zugehörige quadratische Form.

Definition:Ordnung eines Gruppenelementes

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl ${}n$ mit ${}g^{n}=e_{G}$ die Ordnung von ${}g$. Man schreibt hierfür ${}\operatorname {ord} \,(g)$. Wenn alle positiven Potenzen von ${}g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man ${}\operatorname {ord} \,(g)=\infty$.

Definition:Zyklische Gruppe

Eine Gruppe ${}G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.

Definition:Untergruppe

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe. Eine Teilmenge ${}H\subseteq G$ heißt Untergruppe von ${}G$ wenn folgendes gilt.

1. ${}e\in H$.
2. Mit ${}g,h\in H$ ist auch ${}g\circ h\in H$.
3. Mit ${}g\in H$ ist auch ${}g^{-1}\in H$.

Definition:Gruppenhomomorphismus

Es seien ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung

$\psi \colon G\longrightarrow H$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

für alle ${}g,g'\in G$ gilt.

Definition:Gruppenisomorphismus

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie).

Definition:Innerer Automorphismus

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ fixiert. Die durch ${}g$ definierte Abbildung

$\kappa _{g}\colon G\longrightarrow G,\,x\longmapsto gxg^{-1},$

heißt innerer Automorphismus.

Definition:Kern (Gruppenhomomorphismus)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von ${}\varphi$, geschrieben

${}\operatorname {kern} \varphi =\varphi ^{-1}(e_{H})={\left\{g\in G\mid \varphi (g)=e_{H}\right\}}\,.$

Definition:Relation

Es seien ${}X$ und ${}Y$ Mengen. Eine Relation zwischen ${}X$ und ${}Y$ ist eine Teilmenge ${}R\subseteq X\times Y$.

Definition:Ordnungsrelation

Eine Relation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.

Definition:Äquivalenzrelation

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ${}M$ ist eine Relation ${}R\subseteq M\times M$, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ${}x,y,z\in M$).

1. Es ist ${}x\sim x$ (reflexiv).
2. Aus ${}x\sim y$ folgt ${}y\sim x$ (symmetrisch).
3. Aus ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$ folgt ${}x\sim z$ (transitiv).

Dabei bedeutet ${}x\sim y$, dass das Paar ${}(x,y)$ zu ${}R$ gehört.

Definition:Äquivalenzklasse

Es sei ${}R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation und ${}x\in M$. Dann ist

${}[x]:={\left\{y\in M\mid (x,y)\in R\right\}}\,$

die Äquivalenzklasse von ${}x$ bezüglich ${}R$.

Definition:Repräsentantensystem

Es sei ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ${}M$. Eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element in ${}T$ aus dieser Klasse gibt.

Definition:Quotientenmenge

Es sei ${}R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation. Dann heißt

${}M/R:={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,$

die Quotientenmenge von ${}R$.

Definition:Kanonische Projektion

Es sei ${}R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation und ${}M/R$ die Quotientenmenge. Die Abbildung

$q_{R}\colon M\longrightarrow M/R,\,x\longmapsto [x],$

heißt kanonische Projektion von ${}R$.

Definition:Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Wir setzen ${}x\sim _{H}y$ (und sagen, dass ${}x$ und ${}y$ äquivalent sind) wenn ${}x^{-1}y\in H$.

Definition:Nebenklassen

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem ${}x\in G$ die Teilmenge

${}xH={\left\{xh\mid h\in H\right\}}\,$

die Linksnebenklasse von ${}x$ in ${}G$ bezüglich ${}H$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form

${}Hx={\left\{hx\mid h\in H\right\}}\,$

Rechtsnebenklasse (zu ${}x$).

Definition:Gruppenordnung

Zu einer endlichen Gruppe ${}G$ bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Gruppenordnung oder als die Ordnung der Gruppe, geschrieben

${}\operatorname {ord} \,(G)={\#\left(G\right)}\,.$

Definition:Index (Untergruppe)

Zu einer Untergruppe ${}H\subseteq G$ heißt die Anzahl der (Links- oder Rechts--)Nebenklassen der Index von ${}H$ in ${}G$, geschrieben

$\operatorname {ind} _{G}H.$

Definition:Normalteiler

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Man nennt ${}H$ einen Normalteiler, wenn

${}xH=Hx\,$

für alle ${}x\in G$ ist, wenn also die Linksnebenklasse zu ${}x$ mit der Rechtsnebenklasse zu ${}x$ übereinstimmt.

Definition:Restklassengruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ ein Normalteiler. Die Quotientenmenge

$G/H$

mit der aufgrund von Satz 46.14 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von ${}G$ modulo ${}H$. Die Elemente ${}[g]\in G/H$ heißen Restklassen. Für eine Restklasse ${}[g]$ heißt jedes Element ${}g'\in G$ mit ${}[g']=[g]$ ein Repräsentant von ${}[g]$.

Definition:Ringhomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ Ringe. Eine Abbildung

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$.
2. ${}\varphi (1)=1$.
3. ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.

Definition:Nebenklasse (Ideal)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I\subseteq R$ ein Ideal in ${}R$. Zu ${}a\in R$ heißt die Teilmenge

${}a+I={\left\{a+f\mid f\in I\right\}}\,$

die Nebenklasse von ${}a$ zum Ideal ${}I$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Nebenklasse zu ${}I$.

Definition:Restklassenring

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I\subseteq R$ ein Ideal in ${}R$. Dann ist der Restklassenring ${}R/I$ (sprich „R modulo I“) ein kommutativer Ring, der durch folgende Daten festgelegt ist.

1. Als Menge ist ${}R/I$ die Menge der Nebenklassen zu ${}I$.
2. Durch

   ${}(a+I)+(b+I):=(a+b+I)\,$

   wird eine Addition von Nebenklassen definiert.

3. Durch

   ${}(a+I)\cdot (b+I):=(a\cdot b+I)\,$

   wird eine Multiplikation von Nebenklassen definiert.

4. ${}{\bar {0}}=0+I=I$ definiert das neutrale Element für die Addition (die Nullklasse).
5. ${}{\bar {1}}=1+I$ definiert das neutrale Element für die Multiplikation (die Einsklasse).

Definition:Kommensurabel (reelle Zahlen)

Reelle Zahlen ${}r,s\neq 0$ heißen kommensurabel, wenn ${}{\frac {r}{s}}$ eine rationale Zahl ist.

Definition:Restklassenraum

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann nennt man die Menge ${}V/U$ der Äquivalenzklassen mit der in Satz 48.5 bewiesenen Vektorraumstruktur den Restklassenraum (oder Quotientenraum) von ${}V$ modulo ${}U$.

Definition:Orientierungsgleiche Basen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Man nennt zwei Basen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.

Definition:Orientierung (Vektorraum)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Eine Orientierung auf ${}V$ ist eine Äquivalenzklasse von Basen von ${}V$ unter der Äquivalenzrelation, orientierungsgleich zu sein.

Definition:Orientierter Vektorraum

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Er heißt orientiert, wenn auf ihm eine Orientierung erklärt ist.

Definition:Orientierungstreue lineare Abbildung

Es seien ${}V$ und ${}W$ zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume. Eine bijektive lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt orientierungstreu, wenn für jede Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$, die die Orientierung auf ${}V$ repräsentiert, die Bildvektoren ${}\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})$ die Orientierung auf ${}W$ repräsentieren.

Definition:Eigentliche Symmetrie

Es sei ${}T\subseteq V$ eine Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum. Eine eigentliche Isometrie

$f\colon V\longrightarrow V$

mit ${}f(T)=T$ heißt eigentliche Symmetrie oder Bewegung von ${}T$.

Definition:Eigentliche Symmetriegruppe

Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq V$ in einem euklidischen Vektorraum ${}V$ heißt die Menge der eigentlichen Isometrien

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

mit ${}\varphi (T)=T$ die eigentliche Symmetriegruppe von ${}T$.

Definition:Alternierende Gruppe

Zu ${}n\in \mathbb {N}$ heißt die Untergruppe

${}A_{n}:={\left\{\sigma \in S_{n}\mid \operatorname {sgn} (\sigma )=1\right\}}\,$

der geraden Permutationen die alternierende Gruppe.

Definition:Diedergruppe

Zu einem regelmäßigen ${}n$-Eck ($n\geq 2$) heißt die Gruppe der (eigentlichen oder uneigentlichen) linearen Symmetrien die Diedergruppe ${}D_{n}$.

Definition:Halbachsenklassen

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien im ${}\mathbb {R} ^{3}$. Dann nennt man jede Gerade durch den Nullpunkt, die als Drehachse eines Elementes ${}g\neq \operatorname {Id}$ auftritt, eine Achse von ${}G$. Die Halbgeraden dieser Drehachsen nennt man die Halbachsen der Gruppe und die Gesamtmenge dieser Halbachsen nennen wir das zu ${}G$ gehörige Halbachsensystem. Es wird mit ${}{\mathfrak {H}}(G)$ bezeichnet. Zwei Halbachsen ${}H_{1},H_{2}\in {\mathfrak {H}}(G)$ heißen äquivalent, wenn es ein ${}g\in G$ mit ${}g(H_{1})=H_{2}$ gibt. Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation nennt man Halbachsenklassen.

Definition:Offene Kugel

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, ${}x\in M$ und ${}\epsilon >0$ eine positive reelle Zahl. Es ist

${}U{\left(x,\epsilon \right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<\epsilon \right\}}\,$

die offene und

${}B\left(x,\epsilon \right)={\left\{y\in M\mid d(x,y)\leq \epsilon \right\}}\,$

die abgeschlossene ${}\epsilon$-Kugel um ${}x$.

Definition:Offene Menge in einem metrischen Raum

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt offen (in $(M,d)$), wenn für jedes ${}x\in U$ ein ${}\epsilon >0$ mit

${}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$

existiert.

Definition:Abgeschlossene Menge in einem metrischen Raum

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge ${}A\subseteq M$ heißt abgeschlossen, wenn das Komplement ${}M\setminus A$ offen ist.

Definition:Topologischer Raum

Ein topologischer Raum ${}(X,{\mathcal {T}})$ besteht aus einer Menge ${}X$ zusammen mit einer Teilmenge ${}{\mathcal {T}}$ der Potenzmenge von ${}X$, die folgende strukturelle Bedingungen erfüllt (die Teilmengen ${}U\subseteq X$, die zu ${}{\mathcal {T}}$ gehören, nennt man offene Mengen).

1. Die leere Menge und die ganze Menge ${}X$ sind offen (d.h. gehören zu ${}{\mathcal {T}}$).
2. Der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen ist wieder offen, d.h. mit ${}U_{1},\ldots ,U_{n}\in {\mathcal {T}}$ ist auch ${}U_{1}\cap \ldots \cap U_{n}\in {\mathcal {T}}$.
3. Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist wieder offen, d.h. mit ${}U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für jedes ${}i\in I$ (zu einer beliebigen Indexmenge ${}I$) ist auch ${}\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.

Definition:Äquivalente Norm

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum. Zwei Normen ${}\Vert {-}\Vert _{1}$ und ${}\Vert {-}\Vert _{2}$ heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Topologie, also die gleichen offenen Mengen definieren.

Definition:Beschränkte Teilmenge

Eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ eines metrischen Raumes ${}M$ heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl ${}b$ mit

$d{\left(x,y\right)}\leq b{\text{ für alle }}x,y\in T$

gibt.

Definition:Kompakt ${}(\mathbb {R} ^{m})$

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Definition:Kompakt (Überdeckungskompakt)

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung

$X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}I$

eine endliche Teilmenge ${}J\subseteq I$ derart gibt, dass

${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$

ist.

Definition:Stetigkeit für Abbildungen zwischen metrischen Räumen

Es seien ${}(L,d_{1})$ und ${}(M,d_{2})$ metrische Räume,

$f\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung und ${}x\in L$. Die Abbildung ${}f$ heißt stetig in ${}x$, wenn für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart existiert, dass

${}f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$

gilt. Die Abbildung ${}f$ heißt stetig, wenn sie stetig in ${}x$ für jedes ${}x\in L$ ist.

Definition:Norm (lineare Abbildung)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale normierte ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann nennt man

${}\Vert {\varphi }\Vert :={\operatorname {sup} \,(\Vert {\varphi (v)}\Vert ,\Vert {v}\Vert =1)}\,$

die Norm von ${}\varphi$.

Definition:Asymptotisch stabil

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Dann heißt ${}\varphi$ asymptotisch stabil, wenn die Folge ${}\varphi ^{n}$ in ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$ gegen die Nullabbildung konvergiert.

Definition:Spektralradius

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Der Spektralradius von ${}\varphi$ ist

${}\rho (\varphi )={\max {\left(\vert {\lambda }\vert ,\lambda {\text{ ist ein komplexer Eigenwert von }}\varphi \right)}}\,.$

Definition:Stabil

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Dann heißt ${}\varphi$ stabil, wenn die Folge ${}\varphi ^{n}$ in ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$ beschränkt ist.