Vektorraum/Untervektorraum/Restklassenraum/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Es sei ${}V/U$ die Menge der Äquivalenzklassen (die Quotientenmenge) zu der durch ${}U$ definierten Äquivalenzrelation auf ${}V$ und es sei

$q\colon V\longrightarrow V/U,\,v\longmapsto [v],$

die kanonische Projektion.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte ${}K$-Vektorraumstruktur auf ${}V/U$ derart, dass ${}q$ eine ${}K$-lineare Abbildung ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen