Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {invertierbare}{}{}
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det { \left( M^{-1} \right) }
}
{ =} { { \left( \det M \right) }^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $A$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $B$ eine
\mathl{n \times k}{-}Matrix, wobei die Spalten von $B$
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{}
seien. Zeige, dass die Spalten von
\mathl{A \circ B}{} ebenfalls linear abhängig sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige den
Determinantenmultiplikationssatz
für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestätige den
Determinantenmultiplikationssatz
für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 5 \\0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 3 & 6 \\0 & -2 & -3 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {V} {V
} {v} {av
} {,}
die \definitionswort {Streckung}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Homothetie}{}} {} {}
zum \stichwort {Streckungsfaktor} {} $a$.
\inputaufgabe
{}
{
Was ist die \definitionsverweis {Determinante}{}{} einer \definitionsverweis {Streckung}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für zwei \definitionsverweis {Streckungen}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
}
{} {}
Die beiden folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des Gruppenhomomorphismus.
Es seien
\mathkor {} {(G, \circ, e_G)} {und} {(H, \circ, e_H)} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {G} {H
} {}
heißt \definitionswort {Gruppenhomomorphismus}{,} wenn die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi( g \circ g')
}
{ =} { \psi (g) \circ \psi (g')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g,g'
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
\maabbeledisp {} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } { (K \setminus \{0\},\cdot, 1)
} { M } { \det M
} {,}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n,m
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \leq }{ m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Definiere
\definitionsverweis {injektive}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
\maabbdisp {} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } { \operatorname{GL}_{ m } \! { \left( K \right) }
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}} { . }
Zeige, dass diese Matrix einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
von $\Q^2$ nach $\Q^2$ und ebenso von
\mathkor {} {\Z^2} {nach} {\Z^2} {}
definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf
\definitionsverweis {Injektivität}{}{}
und
\definitionsverweis {Surjektivität}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} mit Einträgen aus $\Z$ und \maabbdisp {\varphi_M} {\Z^n} { \Z^n } {} der zugehörige \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $\varphi_M$ genau dann \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $M$ gleich $1$ oder gleich $-1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man die \definitionsverweis {Determinante}{}{} nach jeder Zeile und nach jeder Spalte entwickeln kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man berechne die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 2 & 7 \\ 1 & 4 & 5 \\6 & 0 & 3 \end{pmatrix}} { , }
indem man die Matrix nach allen Spalten und nach allen Zeilen entwickle.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und seien
\maabb {\varphi, \psi} {V} {V
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det \left( \varphi \circ \psi \right)
}
{ = }{ \det \varphi \det \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 8 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe der
Cramerschen Regel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ \in} { \operatorname{Mat}_{ 3 } (\R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Löse das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Ax
}
{ = }{ (1,0,2)^t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit Hilfe der Cramerschen Regel
\zusatzklammer {man überlege sich natürlich vorher, ob man diese
Regel überhaupt anwenden darf} {} {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{(12 (3+1+1+1+2+2+2)}
{
Die \stichwort {Sarrusminante} {} einer
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
berechnet sich, indem man die ersten $n-1$ Spalten der Matrix in der gleichen Reihenfolge an die Matrix anfügt und dann die $n$ Produkte der Hauptdiagonalen aufaddiert und die $n$ Produkte der Nebendiagonalen davon subtrahiert. Wir beschränken uns auf den Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für eine Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ l & m & n & p \\ q & r & s & t \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
betrachtet man also
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b & c & d & a & b & c \\ e & f & g & h & e & f & g \\ l & m & n & p & l & m & n \\ q & r & s & t & q & r & s\end{pmatrix}} { }
und die Sarrusminante ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ sar}_{ } ^{ } { \left( M \right) }
}
{ =} {afnt+bgpq+ch l r +dems -qmgd-rnha-speb-tlfc
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungsieben{Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {\Psi} { \operatorname{Mat}_{ 4 } (K) } {K
} { M } { \operatorname{ sar}_{ } ^{ } { \left( M \right) }
} {,}
\definitionsverweis {multilinear}{}{}
\zusatzklammer {in den Zeilen der Matrix} {} {}
ist.
}{Zeige, dass für
\mathl{4 \times 4}{-}Matrizen, die eine Nullzeile enthalten, die Sarrusminante $0$ ist.
}{Zeige, dass für
\mathl{4 \times 4}{-}Matrizen, die eine Nullspalte enthalten, die Sarrusminante $0$ ist.
}{Zeige, dass für eine obere Dreiecksmatrix die Sarrusminante das Produkt der Diagonalelemente ist.
}{Zeige, dass die Sarrusminante nicht alternierend ist.
}{Man gebe ein Beispiel für eine invertierbare Matrix, deren Sarrusminante gleich $0$ ist.
}{Man gebe ein Beispiel für eine nicht-invertierbare Matrix, deren Sarrusminante gleich $1$ ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestätige den
Determinantenmultiplikationssatz
für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 7 \\ 2 & 0 & -1 \\1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\2 & 0 & -3 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Löse mit der
Cramerschen Regel
das
\definitionsverweis {inhomogene lineare Gleichungssystem}{}{}
\zusatzklammer {über $\Q$} {} {}
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x
+4 y
+3 z & = & 3 \\
x
+5 y
+7 z & = & 3 \\
3 x
+5 y
+2 z & = & 4 \, .
\end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{8}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
${\mathbb C}$ und sei
\maabbdisp {\varphi} {V } {V
} {}
eine
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Wir betrachten $V$ auch als reellen Vektorraum der doppelten Dimension, worauf $\varphi$ auch eine reell-lineare Abbildung ist, die wir zur Unterscheidung mit $\psi$ bezeichnen. Zeige, dass zwischen der komplexen Determinante und der reellen Determinante die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \det \varphi }^2
}
{ =} { \det \psi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}