Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das Ergebnis, wenn man im
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {X^2-5X+3} { }
die Variable $X$ durch die
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}} { }
ersetzt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a+bX+cX^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =2,\, f(1) = 0,\, f(3) = 5} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a+bX+cX^2+dX^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(0) =1,\, f(1) = 2,\, f(2) = 0, \, f(-1) = 1} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für die folgenden drei Mengen
\mathdisp {\{1,3,5,7,9, \ldots \},\, \{1,2,4,8,16, \ldots \},\, \{ 9,99,999,9999,99999, \ldots \}} { }
\zusatzklammer {die alle die Form $\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5, \ldots \}$ besitzen} {} {}
jeweils ein Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(k)
}
{ =} { c_0 +c_1k+c_2k^2+c_3k^3 + c_4 k^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit Koeffizienten
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ c_j
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
mit
\mathdisp {P(1)=a_1, \, P(2)=a_2, \, P(3)=a_3, \, P(4)= a_4, \, P(5)=a_5} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit $q$ Elementen. Zeige, dass man jede Funktion
\maabb {\varphi} {K} {K
} {}
in eindeutiger Weise als ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $< q$ schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit $q$ Elementen.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Polynomfunktionen
\maabbeledisp {\varphi_d} {K} {K
} {x} { x^d
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ d
}
{ < }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind.
} {Zeige, dass die Exponentialfunktionen
\maabbeledisp {\psi_b} {K} {K
} {x} { b^x
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ b
}
{ < }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
linear unabhängig sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das Ergebnis, wenn man im
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {2X^3-5X^2+7X-4} { }
die Variable $X$ durch die
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}} { }
ersetzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f,g} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismen}{}{}
auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{.}
Zeige, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(f \circ g)
}
{ =} { P (f) \circ P(g)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Allgemeinen
\betonung{nicht}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zu einer
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_M
}
{ \defeq} { X^2 - \operatorname{Spur} { \left( M \right) } X + \det M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_M(M)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und es sei
\maabbdisp {f} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ P \in K[X] \mid P(f) = 0 \right\} }} { }
ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
im Polynomring
\mathl{K[X]}{} ist, das vom
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
$\mu_f$
\definitionsverweis {erzeugt}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} mit dem \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} $X-a$. Zeige, dass $M$ die \definitionsverweis {Streckung}{}{} mit dem Streckungsfaktor $a$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir besprechen die
\definitionsverweis {Minimalpolynome}{}{}
zu den
\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{.}
a) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Vertauschungsmatrix
\mathl{V_{ij}}{} gleich
\mathl{X^2 -1}{} ist.
b) Zeige, dass das Minimalpolynom einer skalaren Elementarmatrix $S_k (s)$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich
\mathdisp {X^2 -(s+1)X +s} { }
ist.
c) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Additionsmatrix $A_{ij}(a)$ von der Form
\mathdisp {(X-1)^k} { }
ist. Was ist dabei $k$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} { V } { V
} {}
eine
\definitionsverweis {Projektion}{}{.}
Zeige, dass es für das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
zu $\varphi$ drei Möglichkeiten gibt, nämlich
\mathl{X,X-1}{} und
\mathl{X(X-1)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Es sei eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ über $K$ gegeben. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Minimalpolynom zu $M$ übereinstimmt, wenn man die Matrix über $L$ auffasst.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$ mit dem
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { F_1 \cdots F_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Faktorzerlegung in Polynome $F_i$ von positivem Grad. Zeige, dass
\mathl{F_i(M)}{} nicht
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {K^{(\N)} } {K^{(\N)}
} {,}
die durch
\mathl{e_n \mapsto e_{n+1}}{} festgelegt ist. Zeige, dass $\varphi$ nur vom Nullpolynom annulliert wird.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
$f$ vom Grad
\mathl{\leq 3}{,} für welches
\mathdisp {f(0)=-1,\, f(-1) =-3,\, f(1) = 7,\, f(2) = 21} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a+bX+cX^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f({ \mathrm i}) = 1,\, f(1) = 1+{ \mathrm i},\, f(1-2{ \mathrm i}) = -{ \mathrm i}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne das Ergebnis, wenn man im
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {-X^3+6X^2-6X+27} { }
die Variable $X$ durch die $3\times 3$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 5 & 4 & 1 \\7 & 3 & 0 \end{pmatrix}} { }
ersetzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und
\maabbdisp {g} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{.}
Zeige, dass für jedes
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g P(f) g^{-1}
}
{ =} { P (gfg^{-1})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}