Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 20

Die Pausenaufgabe

Aufgabe *

Man finde ein Polynom

{}f=a+bX+cX^{2}\,

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

f(-1)=2,\,f(1)=0,\,f(3)=5.

Aufgabe

Man finde ein Polynom

{}f=a+bX+cX^{2}+dX^{3}\,

mit ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

f(0)=1,\,f(1)=2,\,f(2)=0,\,f(-1)=1.

Aufgabe

Finde für die folgenden drei Mengen

\{1,3,5,7,9,\ldots \},\,\{1,2,4,8,16,\ldots \},\,\{9,99,999,9999,99999,\ldots \}

(die alle die Form ${}\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},\ldots \}$ besitzen) jeweils ein Polynom

{}P(k)=c_{0}+c_{1}k+c_{2}k^{2}+c_{3}k^{3}+c_{4}k^{4}\,

(mit Koeffizienten ${}c_{j}\in \mathbb {Q}$ ) mit

P(1)=a_{1},\,P(2)=a_{2},\,P(3)=a_{3},\,P(4)=a_{4},\,P(5)=a_{5}.

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen. Zeige, dass man jede Funktion ${}\varphi \colon K\rightarrow K$ in eindeutiger Weise als ein Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}<q$ schreiben kann.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen.

Zeige, dass die Polynomfunktionen
$\varphi _{d}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{d},$

mit ${}0\leq d<q$ linear unabhängig sind.
Zeige, dass die Exponentialfunktionen
$\psi _{b}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto b^{x},$

mit ${}0\leq b<q$ linear unabhängig sind.

Aufgabe *

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

2X^{3}-5X^{2}+7X-4

die Variable ${}X$ durch die ${}2\times 2$ - Matrix

{\begin{pmatrix}4&1\\5&3\end{pmatrix}}

ersetzt.

Aufgabe

Es sei

f,g\colon V\longrightarrow V

ein Endomorphismen auf einem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ und ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass die Gleichheit

{}P(f\circ g)=P(f)\circ P(g)\,

im Allgemeinen nicht gilt.

Aufgabe *

Zu einer ${}2\times 2$ - Matrix ${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ sei

{}P_{M}:=X^{2}-\operatorname {Spur} {\left(M\right)}X+\det M\,.

Zeige, dass ${}P_{M}(M)=0$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

f\colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die Menge

{\left\{P\in K[X]\mid P(f)=0\right\}}

ein Hauptideal im Polynomring ${}K[X]$ ist, das vom Minimalpolynom ${}\mu _{f}$ erzeugt wird.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Matrix mit dem Minimalpolynom ${}X-a$ . Zeige, dass ${}M$ die Streckung mit dem Streckungsfaktor ${}a$ ist.

Aufgabe

Wir besprechen die Minimalpolynome zu den Elementarmatrizen.

a) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Vertauschungsmatrix ${}V_{ij}$ gleich ${}X^{2}-1$ ist.

b) Zeige, dass das Minimalpolynom einer skalaren Elementarmatrix ${}S_{k}(s)$ mit ${}s\neq 1$ gleich

X^{2}-(s+1)X+s

ist.

c) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Additionsmatrix ${}A_{ij}(a)$ von der Form

(X-1)^{k}

ist. Was ist dabei ${}k$ ?

Aufgabe *

Es sei ${}V\neq 0$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine Projektion. Zeige, dass es für das Minimalpolynom zu ${}\varphi$ drei Möglichkeiten gibt, nämlich ${}X,X-1$ und ${}X(X-1)$ .

Aufgabe *

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Es sei eine ${}n\times n$ - Matrix ${}M$ über ${}K$ gegeben. Zeige, dass das Minimalpolynom ${}P\in K[X]$ mit dem Minimalpolynom zu ${}M$ übereinstimmt, wenn man die Matrix über ${}L$ auffasst.