Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 26/latex
\setcounter{section}{26}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von \mathkor {} {X^2-1} {und} {X^3-1} {} sowie eine Darstellung davon.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von \mathkor {} {X-1} {und} {X-2} {} sowie eine Darstellung davon.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von \mathkor {} {X^4-X^3+7X^2-5X+11} {und} {X^3-6X^2+4X+6} {} sowie eine Darstellung davon.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in $\Q[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {P=X^3+2X^2+5X+2} {und} {Q= X^2+4X-3} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in $\Q[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {P=X^9-1} {und} {Q= X^3-1} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in $\R[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {P=X^3+ \pi X^2+ 7} {und} {Q= X^2+\sqrt{7} X - \sqrt{2}} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in ${\mathbb F}_5[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {P=X^4+3 X^3+ X^2+4X+2} {und} {Q=2X^3+4 X^2+ X+3} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Führe in $\Q[X]$ die
\definitionsverweis {Division mit Rest}{}{}
\anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
\mathkor {} {P=X^{n-1} + X^ {n-2} + \cdots + X^2+X+1} {und} {T=X-1} {} durch.
} {Finde eine Darstellung der $1$ mit diesen beiden Polynomen. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei Polynome. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass $F$ ein Teiler von $G$ in $K[X]$ genau dann ist, wenn $F$ ein Teiler von $G$ in $L[X]$ ist.
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den euklidischen Algorithmus für ganze Zahlen, der völlig analog zum euklidischen Algorithmus für Polynome läuft. Zunächst begründe man, dass das Lemma von Bezout auch für ganze Zahlen gilt.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise das Lemma von Bezout für ganze Zahlen
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Wasserspedition \anfuehrung{Alles im Eimer}{} verfügt über $77$-, $91$- und $143$-Liter Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $1071$ und $1029$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $2956$ und $2444$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man bestimme den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} und man gebe eine Darstellung des $\operatorname{ggT}$ von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} mittels dieser Zahlen an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {FibonacciRabbit.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { FibonacciRabbit.svg } {} {HB} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Kaninchen werden bekanntlich immer zur Monatsmitte geboren, die Tragzeit beträgt einen Monat und die Geschlechtsreife erreichen sie im Alter von zwei Monaten. Jeder Wurf besteht aus genau einem Paar, und alle leben ewig.
Wir starten im Monat $1$ mit einem Paar, das einen Monat alt ist. Es sei $f_n$ die Anzahl der Kaninchenpaare im $n$-ten Monat, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_2
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beweise durch Induktion die Rekursionsformel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_{n+2}
}
{ =} { f_{n+1} + f_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Zahlfolge nennt man die Folge der \stichwort {Fibonacci-Zahlen} {.} Wie viele der $f_n$ Paare sind im $n$-ten Monat reproduktionsfähig?
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {34*21-FibonacciBlocks.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 34*21-FibonacciBlocks.png } {} {克勞棣} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Die Fibonacci-Zahlen sind somit
\mathl{1,1,2,3,5,8,13,21,34, \ldots}{}
\inputaufgabe
{}
{
Wende auf zwei aufeinander folgende \definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{} den \definitionsverweis {euklidischen Algorithmus}{}{} an. Welche Gesetzmäßigkeit tritt auf?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Kerne}{}{}
der Potenzen
\mathl{M^i}{} zur Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Kerne der Potenzen
\mathl{M^i}{} zur Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & 1 & 7 \\ 0 & 3 & 5 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Kerne}{}{}
zu den Potenzen
\mathdisp {{ \left( 3 E_3 -M \right) }^{i}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Haupträume}{}{}
zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\pi$ ein
\definitionsverweis {Zykel}{}{}
der Länge $n$ und $M$ die zugehörige
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvier{Bestimme das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
$\chi_{ M }$ von $M$.
}{Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ X-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Teiler von
\mathl{\chi_{ M }}{} ist und berechne die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { P Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
}{Bestimme
\mathl{P(M)}{} und
\mathl{Q(M)}{.}
}{Bestimme
\mathl{\operatorname{kern} P(M)}{} und
\mathl{\operatorname{kern} Q(M)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für eine
\definitionsverweis {diagonalisierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { V } { V
} {}
und jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {trigonalisierbare}{}{}
Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist, wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {trigonalisierbarer}{}{} \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {H_1 \oplus \cdots \oplus H_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
in
\definitionsverweis {Haupträume}{}{}
im Sinne von
Satz 26.14.
Zeige, dass es eine
$\varphi$-\definitionsverweis {invariante Fahne}{}{}
\mathl{V_i}{} derart gibt, dass in der Fahne die Untervektorräume
\mathdisp {H_1, H_1 \oplus H_2 , \ldots , H_1 \oplus \cdots \oplus H_j} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ = }{ 1 , \ldots , m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auftreten.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme in ${\mathbb C}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {X^3+ (2- { \mathrm i} )X^2+ 4} {und} {(3- { \mathrm i})X^2+5 X -3} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von
\mathl{4199,2431}{} und $3553$, sowie eine Darstellung desselben als eine Linearkombination der gegebenen Zahlen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir betrachten eine digitale Uhr, die $24$ Stunden, $60$ Minuten und $60$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer $11$ Stunden, $11$ Minuten und $11$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom. Zeige, dass
\mathdisp {\operatorname{kern} { \left( P(\varphi) \right) }} { }
ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{}
Untervektorraum ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Haupträume}{}{}
zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 0 & 6 & 0 \\
0 & 0 & 1& 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 5 & 2 & 7 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5
\end{pmatrix}} { . }
}
{} {}