Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 35/latex
\setcounter{section}{35}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {Streckung}{}{}
mit einem Streckungsfaktor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$
\definitionsverweis {winkeltreu}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {injektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {winkeltreu}{}{}
ist, wenn für alle
\mathbed {u,v \in V} {}
{u,v \neq 0} {}
{} {} {} {,}
die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \varphi(u) , \varphi(v) \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ \Vert {\varphi(u)} \Vert }{ \Vert {u} \Vert } } \cdot { \frac{ \Vert {\varphi(v)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert } } \cdot \left\langle u , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {U, V} {und} {W} {} \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{.} Zeige, dass folgende Aussagen gelten. \aufzaehlungdrei{Die Identität \maabbdisp {\operatorname{Id}_{ V }} {V} {V } {} ist \definitionsverweis {winkeltreu}{}{.} }{Die Verknüpfung von winkeltreuen Abbildungen \maabbdisp {\varphi} {U} {V } {} und \maabbdisp {\psi} {V} {W } {} ist wieder winkeltreu. }{Zu einer bijektiven winkeltreuen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {U} {V } {} ist auch die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} winkeltreu. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.}
Zeige, dass die Menge aller
\definitionsverweis {winkeltreuen Abbildungen}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von
\mathl{\operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & a_{12} & \ldots & \ldots & a_{1n} \\ 0 & 1 & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & a_{n-1 n} \\ 0 & \ldots & \ldots & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{}
derart, dass die zugehörige
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^n} { \R^n
} {}
\definitionsverweis {winkeltreu}{}{}
ist. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { E_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1\, n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n n} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{.}
Zeige, dass die zugehörige
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^n} { \R^n
} {}
genau dann
\definitionsverweis {winkeltreu}{}{}
ist, wenn
\mathl{\betrag { d_{ii} }}{} konstant und von $0$ verschieden ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe zu jedem
\mathbed {r} {}
{0 \leq r < n} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^n
} {}
vom Rang $r$ an, die
\definitionsverweis {orthogonale Vektoren}{}{}
auf orthogonale Vektoren abbildet, aber keine
\definitionsverweis {winkeltreue Abbildung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {injektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} mit der Eigenschaft, dass \definitionsverweis {orthogonale}{}{} Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {winkeltreu}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {winkeltreue}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {euklidischen Vektorräumen}{}{}
$V$. Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
\maabbdisp {\psi} {V} {V
} {}
und eine
\definitionsverweis {Streckung}{}{}
\maabbdisp {\sigma} {V} {V
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \psi \circ \sigma
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Abstand}{}{}
zwischen dem Punkt
\mathl{\begin{pmatrix} 7 \\-3\\ 4 \end{pmatrix}}{} und sämtlichen
\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_I
}
{ = }{ \langle e_i ,\, i \in I \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \{1,2,3\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt
\mathl{\begin{pmatrix} 5 \\-6 \end{pmatrix}}{} und der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x-7y
}
{ =} {8
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt
\mathl{\begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 7 \end{pmatrix}}{} und der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x-7y +6z
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Ebene im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den minimalen Abstand von
\mathl{(4,1,-5)}{} zu einem Punkt der Ebene $E$, die durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2x-7y+3z
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle für die beiden windschiefen Geraden
\mathdisp {G= { \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\-5\\ 6 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 7 \\-3\\ 3 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} } \text{ und } H = { \left\{ \begin{pmatrix} -4 \\-4\\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 8 \\6\\ 5 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} }} { }
ein lineares Gleichungssystem und berechne daraus die Lotfußpunkte, den Verbindungsvektor und den Abstand der beiden Geraden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne den
\definitionsverweis {Abstand}{}{}
der beiden windschiefen Geraden
\mathdisp {G= { \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\3\\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\4\\ -3 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} } \text{ und } H = { \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\-6\\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 5 \\7\\ 2 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} }} { . }
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben besprechen Abstände zwischen nichtlinearen Objekten.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $A$ der Kreis in $\R^2$ mit dem Mittelpunkt $(3,-4)$ und dem Radius $2$ und $B$ der Kreis in $\R^2$ mit dem Mittelpunkt $(7,2)$ und dem Radius $3$. Bestimme den Abstand zwischen den beiden Kreisen und an welchen Kreispunkten dieser angenommen wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $A$ der Kreis in $\R^2$ mit dem Mittelpunkt $(1,-3)$ und dem Radius $2$ und $B$ die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6x+5y
}
{ =} {30
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene Gerade. Bestimme den Abstand zwischen dem Kreis und der Geraden und an welchen Punkten dieser angenommen wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Abstand}{}{}
zwischen der Hyperbel
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \mid xy = 1 \right\} }} { }
und dem Achsenkreuz
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \mid xy = 0 \right\} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$M$, wobei alle Folgenglieder verschieden seien. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ = }{ { \left\{ x_n \mid n \in \N \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $P$ ein von allen Folgengliedern verschiedener Punkt aus $M$. Zeige, dass $P$ genau dann ein
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{}
der Folge ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( A, P \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe benötigt Analysis 1 (Extremabestimmung durch Ableiten).
\inputaufgabe
{}
{
Für welche Punkte
\mathl{(t,t^2)}{} der
\definitionsverweis {Standardparabel}{}{}
wird der
\definitionsverweis {Abstand}{}{}
zum Punkt
\mathl{(0,1)}{} minimal?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {winkeltreue}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{}
$V$. Zeige, dass es eine reelle Zahl $s$ derart gibt, dass allenfalls
\mathl{s}{} oder $-s$ als
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
von $\varphi$ auftreten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
ist, wenn für beliebige Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A,B
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(\varphi(A), \varphi(B))
}
{ =} { d(A,B)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\1 \end{pmatrix}}{} und der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-6x+3y
}
{ =} {11
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Erstelle für die beiden windschiefen Geraden
\mathdisp {G= { \left\{ \begin{pmatrix} 5 \\3\\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 6 \\-4\\ -1 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} } \text{ und } H = { \left\{ \begin{pmatrix} -4 \\9\\ -5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 8 \\2\\ -6 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} }} { }
ein lineares Gleichungssystem und berechne daraus die Lotfußpunkte, den Verbindungsvektor und den Abstand der beiden Geraden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne den
\definitionsverweis {Abstand}{}{}
der beiden windschiefen Geraden
\mathdisp {G= { \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\-1\\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 5 \\3\\ -2 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} } \text{ und } H = { \left\{ \begin{pmatrix} 4 \\-3\\ 5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 6 \\7\\ -4 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien zwei
\definitionsverweis {disjunkte}{}{}
\definitionsverweis {Kreise}{}{}
\mathkor {} {K_1} {und} {K_2} {}
in der euklidischen Ebene mit den Mittelpunkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M_1
}
{ \neq }{ M_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und den Radien
\mathkor {} {r_1} {und} {r_2} {}
gegeben. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Abstand}{}{}
zwischen den beiden Kreisen in Punkten angenommen wird, die auf der Verbindungsgeraden der Kreismittelpunkte liegen.
}
{} {}