Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 35

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine Streckung mit einem Streckungsfaktor ${}s\neq 0$. Zeige, dass ${}\varphi$ winkeltreu ist.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine injektive lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann winkeltreu ist, wenn für alle ${}u,v\in V$, ${}u,v\neq 0$, die Gleichung

${}\left\langle \varphi (u),\varphi (v)\right\rangle ={\frac {\Vert {\varphi (u)}\Vert }{\Vert {u}\Vert }}\cdot {\frac {\Vert {\varphi (v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\cdot \left\langle u,v\right\rangle \,$

gilt.

Aufgabe

Es seien ${}U,V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.

1. Die Identität

   $\operatorname {Id} _{V}\colon V\longrightarrow V$

   ist winkeltreu.

2. Die Verknüpfung von winkeltreuen Abbildungen

   $\varphi \colon U\longrightarrow V$

   und

   $\psi \colon V\longrightarrow W$

   ist wieder winkeltreu.

3. Zu einer bijektiven winkeltreuen Abbildung

   $\varphi \colon U\longrightarrow V$

   ist auch die Umkehrabbildung winkeltreu.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass die Menge aller winkeltreuen Abbildungen

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Untergruppe von ${}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ ist.

Aufgabe *

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}1&a_{12}&\ldots &\ldots &a_{1n}\\0&1&a_{23}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&a_{n-1n}\\0&\ldots &\ldots &0&1\end{pmatrix}}\,$

eine obere Dreiecksmatrix derart, dass die zugehörige lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

winkeltreu ist. Zeige

${}M=E_{n}\,.$

Aufgabe

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Diagonalmatrix. Zeige, dass die zugehörige lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

genau dann winkeltreu ist, wenn ${}\vert {d_{ii}}\vert$ konstant und von ${}0$ verschieden ist.

Aufgabe

Man gebe zu jedem ${}r$, ${}0\leq r<n$, eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

vom Rang ${}r$ an, die orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abbildet, aber keine winkeltreue Abbildung ist.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine injektive lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass ${}\varphi$ winkeltreu ist.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorräumen ${}V$. Zeige, dass es eine Isometrie

$\psi \colon V\longrightarrow V$

und eine Streckung

$\sigma \colon V\longrightarrow V$

mit

${}\varphi =\psi \circ \sigma \,$

gibt.

Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt ${}{\begin{pmatrix}7\\-3\\4\end{pmatrix}}$ und sämtlichen Untervektorräumen ${}U_{I}=\langle e_{i},\,i\in I\rangle$ zu ${}I\subseteq \{1,2,3\}$.

Aufgabe *

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt ${}{\begin{pmatrix}5\\-6\end{pmatrix}}$ und der durch

${}3x-7y=8\,$

gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.

Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt ${}{\begin{pmatrix}3\\-5\\7\end{pmatrix}}$ und der durch

${}4x-7y+6z=3\,$

gegebenen Ebene im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe

Bestimme den minimalen Abstand von ${}(4,1,-5)$ zu einem Punkt der Ebene ${}E$, die durch die Gleichung ${}2x-7y+3z=0$ gegeben ist.

Aufgabe

Erstelle für die beiden windschiefen Geraden

$G={\left\{{\begin{pmatrix}2\\-5\\6\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}7\\-3\\3\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,\,{\text{ und }}\,\,H={\left\{{\begin{pmatrix}-4\\-4\\-1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}8\\6\\5\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}$

ein lineares Gleichungssystem und berechne daraus die Lotfußpunkte, den Verbindungsvektor und den Abstand der beiden Geraden.

Aufgabe

Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden

$G={\left\{{\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4\\4\\-3\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,\,{\text{ und }}\,\,H={\left\{{\begin{pmatrix}2\\-6\\3\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}5\\7\\2\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}.$

Die folgenden Aufgaben besprechen Abstände zwischen nichtlinearen Objekten.

Aufgabe

Es sei ${}A$ der Kreis in ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit dem Mittelpunkt ${}(3,-4)$ und dem Radius ${}2$ und ${}B$ der Kreis in ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit dem Mittelpunkt ${}(7,2)$ und dem Radius ${}3$. Bestimme den Abstand zwischen den beiden Kreisen und an welchen Kreispunkten dieser angenommen wird.

Aufgabe

Es sei ${}A$ der Kreis in ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit dem Mittelpunkt ${}(1,-3)$ und dem Radius ${}2$ und ${}B$ die durch

${}6x+5y=30\,$

gegebene Gerade. Bestimme den Abstand zwischen dem Kreis und der Geraden und an welchen Punkten dieser angenommen wird.

Aufgabe

Bestimme den Abstand zwischen der Hyperbel

${\left\{(x,y)\mid xy=1\right\}}$

und dem Achsenkreuz

${\left\{(x,y)\mid xy=0\right\}}.$

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem metrischen Raum ${}M$, wobei alle Folgenglieder verschieden seien. Es sei ${}A={\left\{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$ und ${}P$ ein von allen Folgengliedern verschiedener Punkt aus ${}M$. Zeige, dass ${}P$ genau dann ein Häufungspunkt der Folge ist, wenn

${}d{\left(A,P\right)}=0\,$

ist.

Die folgende Aufgabe benötigt Analysis 1 (Extremabestimmung durch Ableiten).

Aufgabe

Für welche Punkte ${}(t,t^{2})$ der Standardparabel wird der Abstand zum Punkt ${}(0,1)$ minimal?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorraum ${}V$. Zeige, dass es eine reelle Zahl ${}s$ derart gibt, dass allenfalls ${}s$ oder ${}-s$ als Eigenwerte von ${}\varphi$ auftreten.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann eine Isometrie ist, wenn für beliebige Teilmengen ${}A,B\subseteq V$ die Gleichung

${}d(\varphi (A),\varphi (B))=d(A,B)\,$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt ${}{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}$ und der durch

${}-6x+3y=11\,$

gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.

Aufgabe (5 Punkte)

Erstelle für die beiden windschiefen Geraden

$G={\left\{{\begin{pmatrix}5\\3\\-2\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}6\\-4\\-1\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,\,{\text{ und }}\,\,H={\left\{{\begin{pmatrix}-4\\9\\-5\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}8\\2\\-6\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}$

ein lineares Gleichungssystem und berechne daraus die Lotfußpunkte, den Verbindungsvektor und den Abstand der beiden Geraden.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden

$G={\left\{{\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}5\\3\\-2\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,\,{\text{ und }}\,\,H={\left\{{\begin{pmatrix}4\\-3\\5\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}6\\7\\-4\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien zwei disjunkte Kreise ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$ in der euklidischen Ebene mit den Mittelpunkten ${}M_{1}\neq M_{2}$ und den Radien ${}r_{1}$ und ${}r_{2}$ gegeben. Zeige, dass der Abstand zwischen den beiden Kreisen in Punkten angenommen wird, die auf der Verbindungsgeraden der Kreismittelpunkte liegen.