Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 36

Übungsaufgaben

Aufgabe

Rekapituliere Gesetzmäßigkeiten für Winkel (Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel). Beweise diese elementargeometrisch und vektoriell.

Aufgabe

Rekapituliere die Begriffe spitzes Dreieck, stumpfes Dreieck, gleichseitiges Dreieck und gleichschenkliges Dreieck.

Aufgabe

Zeige elementargeometrisch, dass die Winkelsumme in einem Dreieck gleich ${}180$ Grad ist.

Aufgabe

Zeige, dass es in einem nichtausgearteten Dreieck maximal einen rechten Winkel gibt.

Aufgabe

In den affinen Ebenen ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ seien nichtausgeartete Dreiecke ${}\Delta _{1}=(A_{1},B_{1},C_{1})$ und ${}\Delta _{2}=(A_{2},B_{2},C_{2})$ gegeben. Zeige, dass es eine bijektive affine Abbildung

$\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$

gibt, die die Dreiecke ineinander überführt.

Aufgabe

Zeige, dass sich bei einer Verschiebung einer euklidischen Ebene die Seitenlängen und die Winkel eines Dreiecks nicht ändern.

Aufgabe

Es seien ${}D_{1}$ und ${}D_{2}$ Dreiecke mit der Eigenschaft, dass zwei Seitenlängen und der von ihnen eingeschlossene Winkel übereinstimmen. Zeige, dass die beiden Dreiecke kongruent sind.

Aufgabe

Es seien ${}D_{1}$ und ${}D_{2}$ Dreiecke mit der Eigenschaft, dass eine Seitenlänge und die an der Seite anliegenden Winkel übereinstimmen. Zeige, dass die beiden Dreiecke kongruent sind.

Aufgabe

Zeige, dass ein gleichschenkliges Dreieck zu einem Dreieck genau dann kongruent ist, wenn es dazu eigentlich kongruent ist. Zeige ferner, dass ein nichtgleichschenkliges Dreieck zu einem Dreieck kongruent sein kann, aber nicht eigentlich kongruent.

Aufgabe *

Es seien ${}P_{1}=(a_{1},b_{1}),\,P_{2}=(a_{2},b_{2})$ und ${}P_{3}=(a_{3},b_{3})$ drei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit ${}a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},a_{3},b_{3}$ dar.

Aufgabe

Es seien drei Punkte ${}P_{1},P_{2},P_{3}\in \mathbb {Q} ^{2}\subset \mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Zeige, dass der Flächeninhalt des durch diese drei Punkte bestimmten Dreiecks eine rationale Zahl ist.

Aufgabe

Zeige, dass zwei nichtausgeartete Dreiecke in einer euklidischen Ebene genau dann zueinander ähnlich sind, wenn ihre Winkel übereinstimmen.

Aufgabe

Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?

Aufgabe

Es sei ${}A,B,C$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt ${}C$. Zeige, dass der Höhenfußpunkt zur Höhe durch ${}C$ auf der Strecke ${}{\overline {A,B}}$ liegt.

Aufgabe

Bestimme für das Dreieck im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit den Eckpunkten ${}(0,0),(3,0),(0,5)$ die Seitenlängen, Parameterdarstellungen für die Höhengeraden, die Länge der Höhen und die Höhenfußpunkte.

Aufgabe *

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.$

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen ${}a,b\in {]0,1[}$ und eine rationale Zahl ${}c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}$ der diophantischen Gleichung

${}x^{2}+y^{2}=z^{2}\,.$

Es heißt primitiv, wenn ${}x,y,z$ keinen gemeinsamen Teiler besitzen.

Aufgabe

Es seien ${}x$ und ${}y$ ungerade. Zeige, dass ${}x^{2}+y^{2}$ keine Quadratzahl ist.

Aufgabe

Es sei ${}(x,y,z)$ ein pythagoreisches Tripel. Zeige, dass ${}x$ oder ${}y$ ein Vielfaches von ${}3$ ist.

Aufgabe

Skizziere ein Dreieck ${}D$ derart, dass eine Höhe das Dreieck ${}D$ in zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke ${}D_{1}$ und ${}D_{2}$ unterteilt so, dass die Seitenlängen von ${}D_{1}$ und ${}D_{2}$ jeweils pythagoreische Tripel bilden. Man gebe die Seitenlängen an.

Aufgabe *

Beweise den Höhensatz mit Hilfe des Kathetensatzes.

Aufgabe *

Beweise die Umkehrung des Satzes von Thales: Es sei ${}A,B,C$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel an ${}C$. Es sei ${}M$ der Mittelpunkt der Strecke ${}{\overline {A,B}}$. Dann ist

${}d(C,M)=d(A,M)=d(B,M)\,,$

d.h. ${}C$ liegt auf dem Kreis mit Mittelpunkt ${}M$ durch ${}A$ (und ${}B$).

Aufgabe *

Beweise den Kosinussatz.

Aufgabe *

Beweise die Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Wenn in einem Dreieck die Beziehung

${}c^{2}=a^{2}+b^{2}\,$

zwischen den Seitenlängen ${}a,b,c$ gilt, so ist das Dreieck rechtwinklig.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein metrischer Raum, der aus drei Punkten bestehe. Zeige, dass man ${}M$ als metrischen Unterraum einer euklidischen Ebene realisieren kann.

Aufgabe

Es sei ${}A,B,C$ ein Dreieck in der euklidischen Ebene und es sei ${}R$ der Rand des Dreiecks, also die Vereinigung der drei Seiten.

1. Definere eine Metrik auf ${}R$ derart, dass der Abstand von zwei Punkten, die auf der gleichen Seite liegen, einfach der induzierte Abstand ist und

   $d(x,y)$

   der minimale Abstand längs eines Weges auf ${}R$ ist.

2. Handelt es sich um die induzierte Metrik?
3. Kann es sein, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten über alle drei Seiten läuft?

In den folgenden Begriffen und Aufgaben wird das Konzept einer konvexen Hülle erläutert.

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten ${}P,Q\in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

$rP+(1-r)Q{\text{ mit }}r\in [0,1],$

ebenfalls zu ${}T$ gehört.

Zu einer Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt die kleinste konvexe Teilmenge ${}T$, die ${}U$ umfasst, die konvexe Hülle von ${}U$.

Die Existenz der konvexen Hülle beruht auf folgender Beobachtung.

Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von konvexen Mengen wieder konvex ist.

Aufgabe

Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{m}$ Punkte im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass die konvexe Hülle dieser Punkte gleich der durch nichtnegative baryzentrische Kombinationen gegebenen Menge

${\left\{\sum _{i=1}^{m}a_{i}P_{i}\mid \sum _{i=1}^{m}a_{i}=1,\,a_{i}\geq 0{\text{ für alle }}i\right\}}$

ist.

Aufgabe

Sind alle Vierecke konvex?

Aufgabe

Zerlege geometrisch die angegebene Strecke in fünf gleichlange Teile.

Aufgabe

Begründe, dass in der Situation von Satz 36.16 ähnliche Dreiecke vorliegen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe für die beiden Dreiecke

$(2,1),(2,-1),(5,-1)\,\,{\text{ und }}\,\,(-1,1),(1,1),(1,4)$

explizit eine Folge von Verschiebungen, Drehungen und Achsenspiegelungen an, die das eine Dreieck in das andere überführt.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für das Dreieck im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit den Eckpunkten ${}(2,-3),(4,1),(5,6),$ die Seitenlängen, Parameterdarstellungen für die Höhengeraden, die Länge der Höhen und die Höhenfußpunkte.

Aufgabe (8 (2+1+1+4) Punkte)

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ sei das Dreieck mit den Eckpunkten ${}(4,2,-5),(4,3,7),(-5,0,-6)$ gegeben.

a) Bestimme eine Gleichung und eine Parameterdarstellung für die affine Ebene, in der das Dreieck liegt.

b) Bestimme die Seitenlängen des Dreiecks.

c) Bestimme die Winkel des Dreiecks.

d) Bestimme eine Parameterdarstellung für die Höhengerade durch den Punkt ${}(4,2,-5)$, die Länge dieser Höhe und den zugehörigen Höhenfußpunkt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}A,B,C$ ein Dreieck in einer euklidischen Ebene. Zeige, dass der Abstand des Eckpunktes ${}C$ zur Seite ${}{\overline {AB}}$ im Punkt ${}A$ oder im Punkt ${}B$ oder im Höhenfußpunkt zur Höhe durch ${}C$ angenommen wird.