Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 38/latex
\setcounter{section}{38}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle 0 , v \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe, ob die folgenden Abbildungen
\maabbdisp {} {\R^2 \times \R^2} {\R
} {}
\definitionsverweis {Bilinearformen}{}{}
sind.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi(v,w)
}
{ =} { \Vert { v} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi(v,w)
}
{ =} { \Vert { v- w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi(v,w)
}
{ =} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi(v,w)
}
{ =} { \angle ( v, w)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} eine \definitionsverweis {nicht-ausgeartete}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Zeige, dass die Form genau dann linksausgeartet ist, wenn sie rechtsausgeartet ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabbeledisp {L} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} {x+3y-4z
} {.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme den Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft
\mathdisp {\left\langle u , v \right\rangle = L(v) \text { für alle } v \in \R^3} { , }
wobei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} das
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}
bezeichnet.
} {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ = }{ { \left\{ (x,y,z) \mid 3x-2y-5z = 0 \right\} }
}
{ \subset }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ L {{|}}_E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
von $L$ auf $E$. Bestimme den Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft
\mathdisp {\left\langle w , v \right\rangle = \varphi (v) \text { für alle } v \in E} { , }
wobei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf $E$ bezeichnet.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{,}
der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei
\maabbdisp {f} {V} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige Gradient im Sinne von
Korollar 38.6.
Zeige, dass der Gradient
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zur Einschränkung
\mathl{f {{|}}_U}{} die
\definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{}
von $v$ auf $U$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} des \definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{} im $\R^2$ bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{} $\begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} -5 \\1 \end{pmatrix}$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} zur \definitionsverweis {Determinante}{}{} auf dem $K^2$ bezüglich der \definitionsverweis {Standardbasis}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Zeige, dass
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} genau dann
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{}
ist, wenn es eine Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v_i , v_j \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v_j , v_i \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{ i,j
}
{ \leq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass diese Form genau dann
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
von ihr bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} in der Dimension zwei, also die Abbildung \maabbeledisp {} {K^2 \times K^2} {K } {( \begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \end{pmatrix} )} { x_1y_2 -x_2y_1 } {,} keine \definitionsverweis {symmetrische}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Ausartungsraum}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von $V$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$. Zeige, dass die Bilinearform genau dann
\definitionsverweis {nicht ausgeartet}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
der Bilinearform bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit einer von $2$ verschiedenen
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
und sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \left\langle v+w , v+w \right\rangle - \left\langle v , v \right\rangle - \left\langle w , w \right\rangle \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit einer von $2$ verschiedenen
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
und sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( \left\langle v+w , v+w \right\rangle - \left\langle v-w , v-w \right\rangle \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem Vektorraum $V$ geben kann, die nicht die
\definitionsverweis {Nullform}{}{}
ist, für die aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$. Zeige, dass $V$ eine
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche, welche der folgenden Abbildungen
\maabb {\varphi} { \R^2 \times \R^2 } { \R
} {}
bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x,y)
}
{ \defeq }{ x_1y_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x,y)
}
{ \defeq }{ x_1x_2+y_1y_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x,y)
}
{ \defeq }{ 2x_1y_2 + 3x_2y_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
a) Zeige, dass die Summe von \definitionsverweis {Bilinearformen}{}{} \mathkor {} {\Psi_1} {und} {\Psi_2} {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ wieder eine Bilinearform ist.
b) Zeige ebenso, dass das skalare Vielfache einer Bilinearform wieder eine Bilinearform ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Bilinearformen}{}{} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ einen $K$-Vektorraum bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass es eine natürliche \definitionsverweis {Isomorphie}{}{} \maabbdisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , { V }^{ * } \right) } } { \operatorname{Bilin}_{ } { \left( V \right) } } {} gibt.
}
{} {}
Wie im Fall eines Skalarproduktes nennt man lineare Abbildung, die Bilinearformen respektieren, Isometrien.
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$, auf denen jeweils eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathkor {} {\Phi_V} {bzw.} {\Phi_W} {}
gegeben sei. Man nennt eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {f} { V} {W
} {}
eine
\definitionswort {Isometrie}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi_W(f(u),f(v))
}
{ =} { \Phi_V(u,v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $U,V$ \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$ mit \definitionsverweis {Bilinearformen}{}{} \mathkor {} {\Phi_U} {und} {\Phi_V} {} und sei \maabb {\varphi} {U} {V } {} eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{.} Ist $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $U,V,W$
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ mit
mit
\definitionsverweis {Bilinearformen}{}{}
\mathl{\Phi_U,\Phi_V,\Phi_W}{.} Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Die
\definitionsverweis {Identität}{}{}
\maabb {} {V} {V
} {}
ist eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{.}
}{Wenn
\maabb {\varphi} {U} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
Isometrie ist, so ist auch die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
$\varphi^{-1}$ eine Isometrie.
}{Wenn
\maabb {\varphi} {U} {V
} {}
und
\maabb {\psi} {V} {W
} {}
Isometrien sind, so ist auch die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{\psi \circ \varphi}{} eine Isometrie.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} $\Phi$. Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Isometrien}{}{} auf $V$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
$\Complex$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und es seien
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
und
\maabbdisp {\psi} {V} {V
} {}
\definitionsverweis {antilineare}{}{}
Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung
\mathl{\varphi \circ \psi}{}
\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass für eine
\definitionsverweis {hermitesche Form}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vek\-torraum}{}{}
$V$ die Werte
\mathl{\left\langle v , v \right\rangle}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stets reell sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vek\-torraum}{}{}
$V$ genau dann
\definitionsverweis {hermitesch}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
der Form bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$
\definitionsverweis {hermitesch}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Untersuche, welche der folgenden Abbildungen
\maabb {\varphi} { \R^2 \times \R^2 } { \R
} {}
\definitionsverweis {bilinear}{}{}
sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften
\definitionsverweis {alternierend}{}{}
und
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{.}
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x,y)
}
{ \defeq }{ x_1-y_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x,y)
}
{ \defeq }{ x_1y_1-x_2y_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x,y)
}
{ \defeq }{ 2x_1y_2-2x_2y_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} des \definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{} im $\R^3$ bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{} $\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 5 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 5 \end{pmatrix}$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
dessen
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
nicht $2$ sei. Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$, die sowohl
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{}
als auch
\definitionsverweis {alternierend}{}{}
sei. Zeige, dass es sich um die Nullform handelt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Ausartungsraum}{}{}
zu einer
\definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ gleich dem
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {V} { { V }^{ * }
} {v} { \left\langle v , - \right\rangle
} {,}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3 (1+1+1)}
{
Wir betrachten die \definitionsverweis {Linearform}{}{} \maabbeledisp {L} {\R^2} {\R } {(x,y)} {4x+7y } {.} \aufzaehlungdrei{Bestimme den \definitionsverweis {Linksgradienten}{}{} von $L$ bezüglich der \definitionsverweis {Determinante}{}{.} }{Bestimme den \definitionsverweis {Rechtsgradienten}{}{} von $L$ bezüglich der Determinante. }{Bestimme den \definitionsverweis {Gradienten}{}{} von $L$ bezüglich des \definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{.} }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {symmetrischen Bilinearformen}{}{}
auf $V$ einen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des Raumes aller Bilinearformen bildet. Welche Dimension besitzt dieser Raum, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ =} { n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.} Bildet die Menge der \definitionsverweis {Skalarprodukte}{}{} auf $V$ einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} des Raumes aller \definitionsverweis {Bilinearformen}{}{} auf $V$?
}
{} {}