Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 38

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige

${}\left\langle 0,v\right\rangle =0\,$

für alle ${}v\in V$.

Aufgabe

Überprüfe, ob die folgenden Abbildungen

$\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

Bilinearformen sind.

1. ${}\Psi (v,w)=\Vert {v}\Vert \,.$

2. ${}\Psi (v,w)=\Vert {v-w}\Vert \,.$

3. ${}\Psi (v,w)=\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,.$

4. ${}\Psi (v,w)=\angle (v,w)\,.$

Aufgabe

Zeige, dass ein Skalarprodukt eine nicht-ausgeartete Bilinearform ist.

Aufgabe

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass die Form genau dann linksausgeartet ist, wenn sie rechtsausgeartet ist.

Aufgabe

Betrachte die Linearform

$L\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x+3y-4z.$

1. Bestimme den Vektor ${}u\in \mathbb {R} ^{3}$ mit der Eigenschaft

   $\left\langle u,v\right\rangle =L(v){\text{ für alle }}v\in \mathbb {R} ^{3},$

   wobei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ das Standardskalarprodukt bezeichnet.

2. Es sei

   $E={\left\{(x,y,z)\mid 3x-2y-5z=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{3}$

   und es sei ${}\varphi =L{|}_{E}$ die Einschränkung von ${}L$ auf ${}E$. Bestimme den Vektor ${}w\in E$ mit der Eigenschaft

   $\left\langle w,v\right\rangle =\varphi (v){\text{ für alle }}v\in E,$

   wobei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf ${}E$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum, der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Linearform und ${}v\in V$ der zugehörige Gradient im Sinne von Korollar 38.6. Zeige, dass der Gradient ${}u\in U$ zur Einschränkung ${}f{|}_{U}$ die orthogonale Projektion von ${}v$ auf ${}U$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im ${}\mathbb {R} ^{2}$ bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}-5\\1\end{pmatrix}}$.

Aufgabe *

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem ${}K^{2}$ bezüglich der Standardbasis.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Zeige, dass ${}\left\langle -,-\right\rangle$ genau dann symmetrisch ist, wenn es eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ mit

${}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\left\langle v_{j},v_{i}\right\rangle \,$

für alle ${}1\leq i,j\leq n$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum mit einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass diese Form genau dann symmetrisch ist, wenn die Gramsche Matrix von ihr bezüglich einer Basis symmetrisch ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Determinante in der Dimension zwei, also die Abbildung

$K^{2}\times K^{2}\longrightarrow K,\,({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}})\longmapsto x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},$

keine symmetrische Bilinearform ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Zeige, dass der Ausartungsraum ein Untervektorraum von ${}V$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Zeige, dass die Bilinearform genau dann nicht ausgeartet ist, wenn die Gramsche Matrix der Bilinearform bezüglich einer Basis invertierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer von ${}2$ verschiedenen Charakteristik und sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \right)}\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer von ${}2$ verschiedenen Charakteristik und sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{4}}{\left(\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v-w,v-w\right\rangle \right)}\,.$

Aufgabe *

Zeige, dass es eine Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem Vektorraum ${}V$ geben kann, die nicht die Nullform ist, für die aber

${}\left\langle v,v\right\rangle =0\,$

für alle ${}v\in V$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Zeige, dass ${}V$ eine Orthogonalbasis besitzt.

Aufgabe

Untersuche, welche der folgenden Abbildungen ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.

1. ${}\varphi (x,y):=x_{1}y_{1}$.
2. ${}\varphi (x,y):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$.
3. ${}\varphi (x,y):=2x_{1}y_{2}+3x_{2}y_{1}$.

Aufgabe

a) Zeige, dass die Summe von Bilinearformen ${}\Psi _{1}$ und ${}\Psi _{2}$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ wieder eine Bilinearform ist.

b) Zeige ebenso, dass das skalare Vielfache einer Bilinearform wieder eine Bilinearform ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Bilinearformen auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ einen ${}K$-Vektorraum bilden.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass es eine natürliche Isomorphie

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,{V}^{*}\right)}\longrightarrow \operatorname {Bilin} _{}{\left(V\right)}$

gibt.

Wie im Fall eines Skalarproduktes nennt man lineare Abbildung, die Bilinearformen respektieren, Isometrien.

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$, auf denen jeweils eine Bilinearform ${}\Phi _{V}$ bzw. ${}\Phi _{W}$ gegeben sei. Man nennt eine ${}K$- lineare Abbildung ${}f\colon V\rightarrow W$ eine Isometrie, wenn

${}\Phi _{W}(f(u),f(v))=\Phi _{V}(u,v)\,$

für alle ${}u,v\in V$ gilt.

Aufgabe

Es seien ${}U,V$ Vektorräume über ${}K$ mit Bilinearformen ${}\Phi _{U}$ und ${}\Phi _{V}$ und sei ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ eine Isometrie. Ist ${}\varphi$ injektiv?

Aufgabe

Es seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$ mit mit Bilinearformen ${}\Phi _{U},\Phi _{V},\Phi _{W}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Identität ${}V\rightarrow V$ ist eine Isometrie.
2. Wenn ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ eine bijektive Isometrie ist, so ist auch die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ eine Isometrie.
3. Wenn ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ und ${}\psi \colon V\rightarrow W$ Isometrien sind, so ist auch die Hintereinanderschaltung ${}\psi \circ \varphi$ eine Isometrie.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit einer Bilinearform ${}\Phi$. Zeige, dass die Menge der Isometrien auf ${}V$ eine Gruppe unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein ${}\mathbb {C}$- Vektorraum und es seien

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

und

$\psi \colon V\longrightarrow V$

antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung ${}\varphi \circ \psi$ linear ist.

Aufgabe *

Zeige, dass für eine hermitesche Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum ${}V$ die Werte ${}\left\langle v,v\right\rangle$ zu ${}v\in V$ stets reell sind.

Aufgabe

Zeige, dass eine Sesquilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum ${}V$ genau dann hermitesch ist, wenn die Gramsche Matrix der Form bezüglich einer Basis von ${}V$ hermitesch ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche, welche der folgenden Abbildungen ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.

1. ${}\varphi (x,y):=x_{1}-y_{1}$.
2. ${}\varphi (x,y):=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}$.
3. ${}\varphi (x,y):=2x_{1}y_{2}-2x_{2}y_{1}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im ${}\mathbb {R} ^{3}$ bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\5\end{pmatrix}}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, dessen Charakteristik nicht ${}2$ sei. Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$, die sowohl symmetrisch als auch alternierend sei. Zeige, dass es sich um die Nullform handelt.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass der Ausartungsraum zu einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ gleich dem Kern der linearen Abbildung

$V\longrightarrow {V}^{*},\,v\longmapsto \left\langle v,-\right\rangle ,$

ist.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Linearform

$L\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 4x+7y.$

1. Bestimme den Linksgradienten von ${}L$ bezüglich der Determinante.
2. Bestimme den Rechtsgradienten von ${}L$ bezüglich der Determinante.
3. Bestimme den Gradienten von ${}L$ bezüglich des Standardskalarproduktes.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass die Menge der symmetrischen Bilinearformen auf ${}V$ einen Untervektorraum des Raumes aller Bilinearformen bildet. Welche Dimension besitzt dieser Raum, wenn

${}\operatorname {dim} _{}\left(V\right)=n\,$

ist?

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum. Bildet die Menge der Skalarprodukte auf ${}V$ einen Untervektorraum des Raumes aller Bilinearformen auf ${}V$?