Kurs:Lineare Algebra I/Lineare Abbildungen

Lineare Abbildungen

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Zu Vektorräumen gehört eine Klasse von Abbildungen, die die Rechenoperationen respektieren, die sogenannten linearen Abbildungen. Im reellen Standardraum   sind genau die stetigen Abbildungen, die Geraden und Parallelität erhalten und den Ursprung fixieren, linear.

Definition 2.18

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Eine Abbildung   zweier  -Vektorräume heißt linear oder genauer  -linear, wenn für alle   und   gilt:
( )  ,
( )  .

Beispiele

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– Nullabbildung:  .
– Homothetien:  , (  = ein fixiertes Körperelement).
– Projektionen auf eine Komponente:  .
– Jede Matrix   bestimmt eine lineare Abbildung (wichtig!)
 
– Die Ableitung einer Funktion induziert eine lineare Abbildung auf dem Vektorraum der reellen differenzierbaren Funktionen, insbesondere auf dem Raum der reellen Polynome:
 

Lemma 2.19

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Für jede lineare Abbildung   gelten:
(1)  ,
(2)   Unterraum   Unterraum,
(3)   Unterraum   Unterraum,
(4)   bijektiv (eineindeutig)   linear,
(5)   linear   linear.

Bezeichnung: Eine bijektive lineare Abbildung heißt Isomorphismus.

Definition 2.20

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Der Kern bzw. das Bild einer linearen Abbildung   sind definiert durch   bzw.  .

Bemerkungen:

  • Nach Lemma 2.19 sind   und   Unterräume.
  • Eine lineare Abbildung   ist injektiv gdw.  .
  • Die Menge aller linearen Abbildungen von   nach   ist selbst ein Vektorraum und Unterraum des Vektorraumes aller Abbildungen:
 .
Dabei ist die Addition und die Skalarmultiplikation von Abbildungen durch die Operationen im Bildraum gegeben, also durch   und  .
  • Nach Lemma 2.19 (5) induziert die Verknüpfung linearer Abbildungen eine Abbildung
   .
  • Fixiert man jetzt   (bzw.  ), so erhält man jeweils Abbildung
  bzw.  
Diese Abbildungen sind jeweils linear.

Satz 2.21 (2. Dimensionsformel)

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 .

Satz 2.22 (Prinzip der linearen Fortsetzung)

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Ist   eine Basis von  , so existiert zu jeder Auswahl von   Vektoren   genau eine lineare Abbildung  , so dass   für  .

Korollar 2.23

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Jeder  -dimensionale  -Vektorraum   ist isomorph zu  .

Nach dem Existenzsatz für Basen (siehe Kurs:Lineare_Algebra_I/Endlich_erzeugte_Vektorräume#Lineare_Unabh.C3.A4ngigkeit.2C_Basis.2C_Dimension) besitzt   eine Basis aus   Vektoren, sagen wir  . Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzbarkeit gibt es eine  -lineare Abbildung

 .

Diese Abbildung ist surjektiv, da   ein |Erzeugendensystem von   ist, und injektiv, da   |linear unabhängig sind. Damit ist   ein Isomorphismus.

Korollar 2.24

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Die Zuordnung   induziert einen Isomorphismus des Vektorraumes der Matrizen auf den Vektorraum der linearen Abbildungen:  .

Man überzeugt sich leicht:   ist die  -te Spalte von  . Daher ergibt sich die inverse Abbildung aus der Zuordnung:

 ,

  ist also die Matrix, deren Spalten den Bildern der Einheitsvektoren entsprechen.

Standardaufgaben

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(1) Teste   auf lineare Unabhängigkeit.
(2) Bestimme eine Basis von  .
(3) Auswahl einer linear unabhängigen Teilmenge aus  .
(4) Ergänzung einer linear unabhängigen Teilmenge   zu einer Basis.
(5) Teste die Zugehörigkeit eines Vektors v zu einem Unterraum   .
(6) Stelle für einen Unterraum   ein homogenes lineares Gleichungssystem auf, dessen Lösungsmenge   ist (implizite Darstellung von  ).
(7) Bestimme Basen des Durchschnitts, der Summe von Unterräumen, bzw. von komplementären Räumen.
(8) Bestimme Kern und Bild einer linearen Abbildung.