Zu Vektorräumen gehört eine Klasse von Abbildungen, die die Rechenoperationen respektieren, die sogenannten linearen Abbildungen. Im reellen Standardraum
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Eine Abbildung
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\rightarrow W}
K
{\displaystyle \,K\!}
linear oder genauer
K
{\displaystyle \,K\!}
v
,
v
′
∈
V
{\displaystyle v,v'\in V}
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in K}
(
l
1
{\displaystyle \,l_{1}\!}
f
(
v
+
v
′
)
=
f
(
v
)
+
f
(
v
′
)
{\displaystyle \,f(v+v')=f(v)+f(v')}
(
l
2
{\displaystyle \,l_{2}}
f
(
λ
v
)
=
λ
f
(
v
)
{\displaystyle \,f(\lambda v)=\lambda f(v)}
– Nullabbildung:
v
↦
0
{\displaystyle v\mapsto 0}
– Homothetien:
v
↦
λ
v
{\displaystyle v\mapsto \lambda v}
λ
{\displaystyle \,\lambda }
– Projektionen auf eine Komponente:
x
∈
K
n
↦
x
i
∈
K
{\displaystyle x\in K^{n}\mapsto x_{i}\in K}
– Jede Matrix
A
=
(
a
i
j
)
∈
M
a
t
(
m
,
n
)
{\displaystyle A=(a_{ij})\in Mat(m,n)}
f
A
:
K
n
→
K
m
;
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
↦
(
∑
j
=
1
n
a
1
j
x
j
,
.
.
.
,
∑
j
=
1
n
a
m
j
x
j
)
{\displaystyle f_{A}:K^{n}\rightarrow K^{m};(x_{1},...,x_{n})\mapsto (\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},...,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j})}
– Die Ableitung einer Funktion induziert eine lineare Abbildung auf dem Vektorraum der reellen differenzierbaren Funktionen, insbesondere auf dem Raum der reellen Polynome:
∂
/
∂
x
:
R
[
X
]
→
R
[
X
]
,
f
(
X
)
↦
f
′
(
X
)
{\displaystyle \partial /\partial x:\mathbb {R} [X]\rightarrow \mathbb {R} [X],f(X)\mapsto f'(X)}
Für jede lineare Abbildung
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\rightarrow W}
:
(1)
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle \,f(0)=0}
(2)
U
⊂
V
{\displaystyle \,U\subset V}
⇒
f
(
U
)
⊂
W
{\displaystyle \Rightarrow f(U)\subset W}
(3)
Z
⊂
W
{\displaystyle \,Z\subset W}
⇒
f
−
1
(
Z
)
⊂
V
{\displaystyle \Rightarrow f^{-1}(Z)\subset V}
(4)
f
{\displaystyle \,f}
⇒
f
−
1
{\displaystyle \Rightarrow f^{-1}}
(5)
g
:
W
→
Z
{\displaystyle \,g:W\rightarrow Z}
⇒
g
∘
f
:
V
→
Z
{\displaystyle \Rightarrow g\circ f:V\rightarrow Z}
Bezeichnung: Eine bijektive lineare Abbildung heißt Isomorphismus.
Der Kern bzw. das Bild einer linearen Abbildung
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\rightarrow W}
K
e
r
(
f
)
:=
{
v
∈
V
|
f
(
v
)
=
0
}
{\displaystyle Ker(f):=\{v\in V|f(v)=0\}}
I
m
(
f
)
:=
{
f
(
v
)
∈
W
|
v
∈
V
}
{\displaystyle Im(f):=\{f(v)\in W|v\in V\}}
Bemerkungen:
Nach Lemma 2.19 sind
K
e
r
(
f
)
{\displaystyle \,Ker(f)}
I
m
(
f
)
{\displaystyle \,Im(f)}
Eine lineare Abbildung
f
{\displaystyle \,f}
K
e
r
(
f
)
=
{
0
}
{\displaystyle \,Ker(f)=\{0\}}
Die Menge aller linearen Abbildungen von
V
{\displaystyle \,V}
W
{\displaystyle \,W}
H
o
m
(
V
,
W
)
:=
{
f
|
f
:
V
→
W
,
f
linear
}
⊂
A
b
b
(
V
,
W
)
{\displaystyle Hom(V,W):=\{f|f:V\rightarrow W,f~{\mbox{linear}}\}\subset Abb(V,W)}
Dabei ist die Addition und die Skalarmultiplikation von Abbildungen durch die Operationen im Bildraum gegeben, also durch
(
f
+
g
)
(
v
)
:=
f
(
v
)
+
g
(
v
)
{\displaystyle \,(f+g)(v):=f(v)+g(v)}
(
λ
f
)
(
v
)
:=
λ
(
f
(
v
)
)
{\displaystyle \,(\lambda f)(v):=\lambda (f(v))}
Nach Lemma 2.19 (5) induziert die Verknüpfung linearer Abbildungen eine Abbildung
∘
:
H
o
m
(
V
,
W
)
×
H
o
m
(
W
,
Z
)
→
H
o
m
(
V
,
Z
)
{\displaystyle \circ :Hom(V,W)\times Hom(W,Z)\rightarrow Hom(V,Z)}
(
f
,
g
)
↦
g
∘
f
{\displaystyle (f,g)\mapsto g\circ f}
Fixiert man jetzt
f
{\displaystyle \,f}
g
{\displaystyle \,g}
∘
f
:
H
o
m
(
W
,
Z
)
→
H
o
m
(
V
,
Z
)
{\displaystyle \circ f:Hom(W,Z)\rightarrow Hom(V,Z)}
g
∘
:
H
o
m
(
V
,
W
)
→
H
o
m
(
V
,
Z
)
{\displaystyle g\circ :Hom(V,W)\rightarrow Hom(V,Z)}
Diese Abbildungen sind jeweils linear.
dim
(
V
)
=
dim
(
K
e
r
(
f
)
)
+
dim
(
I
m
(
f
)
)
{\displaystyle \,\dim(V)=\dim(Ker(f))+\dim(Im(f))}
Bearbeiten
Ist
{
v
1
,
.
.
.
,
v
n
}
{\displaystyle \,\{v_{1},...,v_{n}\}}
V
{\displaystyle \,V}
n
{\displaystyle \,n}
w
1
,
.
.
.
,
w
n
∈
W
{\displaystyle w_{1},...,w_{n}\in W}
f
:
V
→
W
{\displaystyle \,f:V\rightarrow W}
f
(
v
i
)
=
w
i
{\displaystyle \,f(v_{i})=w_{i}}
i
=
1
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle \,i=1,...,n}
Jeder
n
{\displaystyle \,n}
K
{\displaystyle \,K\!}
V
{\displaystyle \,V}
K
n
{\displaystyle \,K^{n}}
Nach dem Existenzsatz für Basen (siehe Kurs:Lineare_Algebra_I/Endlich_erzeugte_Vektorräume#Lineare_Unabh.C3.A4ngigkeit.2C_Basis.2C_Dimension ) besitzt
V
{\displaystyle \,V}
n
{\displaystyle \,n}
v
1
,
…
,
v
n
{\displaystyle \,v_{1},\ldots ,v_{n}}
K
{\displaystyle \,K\!}
φ
:
K
n
→
V
,
e
i
↦
v
i
,
i
=
1
,
…
n
{\displaystyle \,\varphi :K^{n}\rightarrow V,e_{i}\mapsto v_{i},\,i=1,\ldots n}
Diese Abbildung ist surjektiv , da
v
1
,
…
,
v
n
{\displaystyle \,v_{1},\ldots ,v_{n}}
|Erzeugendensystem von
V
{\displaystyle \,V}
injektiv , da
v
1
,
…
,
v
n
{\displaystyle \,v_{1},\ldots ,v_{n}}
|linear unabhängig sind. Damit ist
φ
{\displaystyle \,\varphi }
Die Zuordnung
A
↦
f
A
{\displaystyle A\mapsto f_{A}}
M
a
t
(
m
,
n
;
K
)
≅
H
o
m
(
K
n
,
K
m
)
{\displaystyle Mat(m,n;K)\cong Hom(K^{n},K^{m})}
Man überzeugt sich leicht:
f
A
(
e
i
)
=
a
i
{\displaystyle \,f_{A}(e_{i})=a_{i}}
i
{\displaystyle \,i}
A
{\displaystyle \,A}
f
↦
M
(
f
)
:=
(
f
(
e
1
)
,
.
.
.
,
f
(
e
n
)
)
{\displaystyle \,f\mapsto M(f):=(f(e_{1}),...,f(e_{n}))}
M
(
f
)
{\displaystyle \,M(f)}
(1) Teste
M
⊂
K
n
{\displaystyle M\subset K^{n}}
(2) Bestimme eine Basis von
L
i
n
(
M
)
⊂
K
n
{\displaystyle Lin(M)\subset K^{n}}
(3) Auswahl einer linear unabhängigen Teilmenge aus
M
⊂
K
n
{\displaystyle M\subset K^{n}}
(4) Ergänzung einer linear unabhängigen Teilmenge
M
⊂
K
n
{\displaystyle M\subset K^{n}}
(5) Teste die Zugehörigkeit eines Vektors v zu einem Unterraum
U
⊂
V
{\displaystyle U\subset V}
(6) Stelle für einen Unterraum
U
⊂
K
n
{\displaystyle U\subset K^{n}}
U
{\displaystyle U}
U
{\displaystyle U}
(7) Bestimme Basen des Durchschnitts, der Summe von Unterräumen, bzw. von komplementären Räumen.
(8) Bestimme Kern und Bild einer linearen Abbildung. 
![{\displaystyle \partial /\partial x:\mathbb {R} [X]\rightarrow \mathbb {R} [X],f(X)\mapsto f'(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588b802956b134f7c007c98f3007596f1da9ca55)
