Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 17/latex
\setcounter{section}{17}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} der nur aus \definitionsverweis {endlich vielen}{}{} Elementen bestehe. Zeige, dass $X$ \definitionsverweis {kompakt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y_1 , \ldots , Y_n
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {kompakte Teilmengen}{}{.}
Zeige, dass auch die
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ \bigcup_{i = 1}^n Y_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kompakt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {kompakter Raum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{,}
die die
\definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{}
trage. Zeige, dass $Y$ ebenfalls kompakt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} $\R$ nicht \definitionsverweis {überdeckungskompakt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige auf möglichst viele Arten, dass der Raum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ { \frac{ 1 }{ n } } \mid n \in \N_+ \right\} } \cup \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {kompakt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {kompakte}{}{} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{.} Zeige, dass auch der \definitionsverweis {Produktraum}{}{} $X \times Y$ kompakt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß aus dem Satz von Heine-Borel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die \definitionsverweis {natürlichen Zahlen}{}{} $\N$ und versehen sie mit der \definitionsverweis {diskreten Metrik}{}{.} Zeige, dass $\N$ \definitionsverweis { abgeschlossen}{}{} und \definitionsverweis {beschränkt}{}{,} aber nicht \definitionsverweis { überdeckungskompakt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {S^1 } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ \definitionsverweis {homöomorph}{}{} zu einem offenen, einem halboffenen, einem abgeschlossenen \definitionsverweis {Intervall}{}{} oder zu $S^1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {S^1} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ \definitionsverweis {homöomorph}{}{} zu einem abgeschlossenen \definitionsverweis {Intervall}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {normierter Vektorraum}{}{.}
Zeige, dass $V$ nicht
\definitionsverweis {kompakt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {total beschränkter}{}{} \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eines
\definitionsverweis {total beschränkten}{}{}
\definitionsverweis {metrischen Raumes}{}{}
$M$ wieder total beschränkt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{\R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein abgeschlossenes gleichseitiges Dreieck
\zusatzklammer {gemeint ist die Fläche mit Rand} {} {}
mit Seitenlänge $2$. Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen mit Radius $1$, mit denen man $T$ überdecken kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{\R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein offenes gleichseitiges Dreieck
\zusatzklammer {gemeint ist die Fläche ohne den Rand} {} {}
mit Seitenlänge $2$. Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen mit Radius $1$, mit denen man $T$ überdecken kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten den abgeschlossenen Ball
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { U { \left( (0,0),1 \right) }
}
{ \subseteq} { \R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen $U { \left( P_i,1 \right) }$, mit der man $X$ überdecken kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {vollständigen}{}{} \definitionsverweis {beschränkten }{}{} \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} $M$, der nicht \definitionsverweis {total beschränkt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {total beschränkte}{}{}
Teilmenge in einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$M$. Zeige, dass auch der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
\mathl{\overline{ T }}{} total beschränkt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Konzepte
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
und
\definitionsverweis {total beschränkt}{}{}
zusammenfallen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {folgenkompakter}{}{} \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Zeige, dass $X$ eine \definitionsverweis {abzählbare Basis}{}{} besitzt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge, die die
\definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{}
trage. Es sei $Y$
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}
Zeige, dass $Y$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
in $X$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}
Es sei $X$
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(X)
}
{ \subseteq }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls kompakt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Untersuche die folgenden Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\definitionsverweis {Vollständigkeit}{}{,}
\definitionsverweis {Beschränktheit}{}{}
und
\definitionsverweis {totale Beschränktheit}{}{.}
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ ]0,1[
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ ]0,1[ \cap \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei \maabb {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} zwischen \definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {.} Es sei $X$ \definitionsverweis {kompakt}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Die Aufgabe zum Aufgeben}
\inputaufgabe
{10}
{
Wir betrachten den offenen Ball
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { U { \left( (0,0),2 \right) }
}
{ \subseteq} { \R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen $U { \left( P_i,1 \right) }$, mit der man $X$ überdecken kann.
}
{} {}