Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 5/latex
\setcounter{section}{5}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die beiden Rechtecke
\mathdisp {Q= [-1,2] \times [1,4] \text{ und } L= [1,5] \times [3,6]} { }
im $\R^2$. Schreibe den Durchschnitt und die Differenzmengen als disjunkte Vereinigung von Rechtecken. Schreibe die Vereinigung der beiden Mengen auf mehrere Arten als disjunkte Vereinigung von Rechtecken. Welche Darstellung ist eine Verfeinerung einer anderen Darstellung? Wie sieht ein \anfuehrung{Raster}{} aus, mit dem man alle beteiligten Mengen ausdrücken kann? Bestätige, dass die Summe der beteiligten Rechteckinhalte stets gleich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das durch die drei Punkte
\mathl{(0,0), (0,1)}{} und
\mathl{(1,0)}{} gegebene
\definitionsverweis {abgeschlossene}{}{} Dreieck nicht zum
\definitionsverweis {Produktpräring}{}{} von
\mathkor {} {(\R, \mathfrak {P} \, (\R ) )} {und} {(\R, \mathfrak {P} \, (\R ) )} {}
gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {(M, {\mathcal A } )} {und} {(N, {\mathcal B } )} {}
\definitionsverweis {Messräume}{}{}
und es sei $\mu$ das in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
konzentrierte
\definitionsverweis {Dirac-Maß}{}{}
auf $M$ und $\nu$ das in
\mathl{y \in N}{} konzentrierte Dirac-Maß auf $N$. Zeige, dass
\mathl{\mu \otimes \nu}{} das in
\mathl{(x,y)}{} konzentrierte Dirac-Maß auf
\mathl{M \times N}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} zwei abzählbare Mengen, die beide mit der $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} aller Teilmengen und mit dem Zählmaß \zusatzklammer {genannt $\mu$ bzw. $\nu$} {} {} versehen seien.
a) Zeige, dass \mathkor {} {M} {und} {N} {} $\sigma$-\definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {Maßräume}{}{} sind.
b)
Zeige, dass das Produktmaß
\mathl{\mu \otimes \nu}{} auf
\mathl{M \times N}{} ebenfalls das Zählmaß ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {(M, {\mathcal A } )} {und} {(N, {\mathcal B } )} {}
\definitionsverweis {Messräume}{}{}
und es sei $\mu$ das zur
\definitionsverweis {Belegungsfunktion}{}{}
\maabbeledisp {b} {M} {\R_{\geq 0}
} {x} {b_x
} {,}
gehörige
\definitionsverweis {Maß}{}{}
auf $M$ und $\nu$ das zur Belegungsfunktion
\maabbeledisp {c} {N} {\R_{\geq 0}
} {y} { c_y
} {,}
gehörige Maß auf $N$
\zusatzklammer {diese Maße seien als
$\sigma$-\definitionsverweis {endlich}{}{}
angenommen} {} {.}
Zeige, dass
\mathl{\mu \otimes \nu}{} das zur Belegungsfunktion
\maabbeledisp {} {M \times N} {\R_{\geq}
} {(x,y)} { b_xc_y
} {,}
gehörige Maß auf
\mathl{M \times N}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {(M_1, {\mathcal A }_1 , \mu_1)} {und} {(M_2, {\mathcal A }_2 , \mu_2)} {}
zwei
$\sigma$-\definitionsverweis {endliche Maß\-räume}{}{,}
es seien
\mathkor {} {(N_1, {\mathcal B }_1)} {und} {(N_2, {\mathcal B }_2)} {}
zwei
\definitionsverweis {Messräume}{}{}
und es seien
\maabbdisp {\varphi_1} {M_1} {N_1
} {}
und
\maabbdisp {\varphi_2} {M_2} {N_2
} {}
zwei
\definitionsverweis {messbare Abbildungen}{}{,}
unter denen die
\definitionsverweis {Bildmaße}{}{}
\mathkor {} {(\varphi_1)_*\mu_1} {und} {(\varphi_2)_*\mu_2} {}
\mathl{\sigma}{-}endlich seien. Zeige, dass für das Bildmaß unter der
\definitionsverweis {Produktabbildung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ \varphi_1 \times \varphi_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_* (\mu_1 \otimes \mu_2)
}
{ =} { (( \varphi_1)_* \mu_1) \otimes ( (\varphi_2)_*\mu_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {}
\definitionsverweis {endliche Maß\-räume}{}{}
und
\mathl{(M \times N, {\mathcal A } \otimes {\mathcal B }, \mu \otimes \nu )}{} ihr
\definitionsverweis {Produktmaßraum}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
von
\mathl{\mu \otimes \nu}{} unter der Projektion
\maabbeledisp {} {M \times N} {M
} {(x,y)} {x
} {,}
gleich
\zusatzklammer {dem umskalierten Maß} {} {}
\mathl{\nu(N) \cdot \mu}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für
\definitionsverweis {endliche Maß\-räume}{}{}
und einem Maß $\lambda$ auf
\mathl{(M \times N, {\mathcal A } \otimes {\mathcal B } )}{,} das nicht das
\definitionsverweis {Produktmaß}{}{}
ist, das aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\lambda (S \times N)
}
{ =} { \mu(S) \times \nu(N)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\lambda(M \times T)
}
{ =} { \mu(M) \times \nu(T)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle messbaren Teilmengen
\mathl{S \subseteq M}{} und
\mathl{T \subseteq N}{} erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass sich die abgeschlossene Einheitskreisscheibe
\mathdisp {B \left( 0,1 \right) = { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid \sqrt{x^2+y^2} \leq 1 \right\} }} { }
nicht durch abzählbar viele abgeschlossene Rechtecke
\mathl{[a,b] \times [c,d] \subseteq B \left( 0,1 \right)}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{a \leq b}{} und \mathlk{c \leq d}{}} {} {}
überdecken lässt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man schreibe eine Animation, die die Unabhängigkeit des Maßes von der Quaderzerlegung im Beweis zu Lemma 5.3 (1) am Beispiel des $\R^2$ deutlich macht. Insbesondere soll die Einführung eines Rasters und der Begriff der Verfeinerung sichtbar werden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Geometric_series_14_square.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Geometric series 14 square.svg } {} {Melchoir} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Man erläutere Lemma 5.3 (2) anhand des Bildes.
}
{} {}
Durch eine Kombination von Produktmaß und Bildmaß kann man die sogenannte Faltung von Maßen definieren.
Zum $\sigma$-\definitionsverweis {endlichen}{}{} \definitionsverweis {Maßen}{}{} \mathkor {} {\mu} {und} {\nu} {} auf dem $\R^n$ nennt man das \definitionsverweis {Bildmaß}{}{} des \definitionsverweis {Produktmaßes}{}{} $\mu \otimes \nu$ unter der Addition \maabbeledisp {} { \R^n \times \R^n } { \R^n } { (x,y)} { x+y } {,} die \definitionswort {Faltung}{} der beiden Maße. Sie wird mit $\mu* \nu$ bezeichnet.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Dirac-Maß}{}{} $\delta_0$ das \definitionsverweis {neutrale Element}{}{} für die \definitionsverweis {Faltungsverknüpfung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Faltung}{}{}
$\delta_P * \delta_Q$ von
\definitionsverweis {Dirac-Maßen}{}{}
$\delta_P , \delta_Q$ zu Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {offene}{}{} \definitionsverweis {Einheitskreisscheibe}{}{} nicht zum \definitionsverweis {Produktpräring}{}{} von \mathkor {} {(\R, \mathfrak {P} \, (\R ) )} {und} {(\R, \mathfrak {P} \, (\R ) )} {} gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $T$ die Vereinigung der drei Quader
\mathdisp {Q_1= [2,7] \times [1,3],\, Q_2= [1,4] \times [2,5] \text{ und } Q_3 =[3,6]\times [4,6]} { }
im $\R^2$. Bestimme
\mathdisp {T(x) = { \left\{ y \in \R \mid (x,y) \in T \right\} }} { }
für jedes
\mathl{x \in \R}{} und
\mathdisp {T^a = { \left\{ x \in \R \mid \lambda(T(x)) = a \right\} }} { }
für jedes
\mathl{a \in \R}{}
\zusatzklammer {dabei ist $\lambda$ einfach die Summe der Länge der disjunkten Intervalle, aus denen sich $T(x)$ zusammensetzt} {} {.}
}
{} {}
Einen Maßraum mit dem Gesamtmaß $1$ nennt man einen Wahrscheinlichkeitsraum. Für die Wahrscheinlichkeitstheorie ist das folgende Konzept enorm wichtig.
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal E }, \mu)}{} ein
\definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsraum}{}{.}
Man nennt zwei
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal A }, {\mathcal B }
}
{ \subseteq }{ {\mathcal E }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionswort {unabhängig}{,} wenn für jedes
\mathkor {} {A \in {\mathcal A }} {und jedes} {B \in {\mathcal B }} {}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu(A \cap B)
}
{ =} { \mu(A) \cdot \mu(B)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathkor {} {(\Omega_1, {\mathcal A }_1, \mu_1)} {und} {(\Omega_2, {\mathcal A }_2, \mu_2)} {} zwei
\definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsräume}{}{}
und
\mathl{(\Omega_1 \times \Omega_2, {\mathcal A }_1 \otimes {\mathcal A }_2, \mu_1 \otimes \mu_2)}{} ihr
\definitionsverweis {Produktraum}{}{.}
Zeige, dass die \anfuehrung{Zylinderalgebren}{}
\mathdisp {{\mathcal Z }_1 = { \left\{ S \times \Omega_2 \mid S \in {\mathcal A }_1 \right\} } \text{ und } {\mathcal Z }_2 = { \left\{ \Omega_1 \times T \mid T \in {\mathcal A }_2 \right\} }} { }
\definitionsverweis {unabhängig}{}{}
sind.
}
{} {}