Produktmenge/Endlich/Produkt-Prämaß/Wohldefiniertheit/Eigenschaften/Fakt

Es seien ${}(M_{1},{\mathcal {P}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n},\mu _{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen und Prämaßen. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die für eine endliche disjunkte Vereinigung

   ${}V=\biguplus _{i\in I}Q_{i}\,$

   von Quadern ${}Q_{i}=S_{i1}\times \cdots \times S_{in}$ (wobei die Seiten endliches Maß haben) durch

   ${}\mu (V)=\sum _{i\in I}\mu (Q_{i})\,$

   mit ${}\mu (Q_{i})=\mu _{1}(S_{i1}){\cdots }\mu _{n}(S_{in})$ definierte Zahl ist unabhängig von der gewählten Zerlegung.

2. Es seien ${}\mu _{i}(M_{i})<\infty$ (insbesondere sei dies definiert). Dann ist die Zuordnung ${}V\mapsto \mu (V)$ ein Prämaß auf dem Produkt-Präring.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen