Produktmenge/Endlich/Produkt-Prämaß/Wohldefiniertheit/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Wir beschränken uns im Beweis auf zwei Mengen ${}(M,{\mathcal {P}},\pi )$ und ${}(N,{\mathcal {R}},\rho )$, die allgemeine Aussage folgt daraus durch Induktion. Seien

${}V=\biguplus _{i\in I}Q_{i}=\biguplus _{j\in J}L_{j}\,$

zwei Darstellungen einer Menge ${}V\subseteq M\times N$ als endliche disjunkte Vereinigung von Quadern. Wir müssen ${}\sum _{i\in I}\mu (Q_{i})=\sum _{j\in J}\mu (L_{j})$ zeigen. Für jeden Quader ${}Q_{i}$ ist insbesondere ${}Q_{i}\subseteq \bigcup _{j\in J}L_{j}$. Damit ist auch

${}Q_{i}=Q_{i}\cap {\left(\biguplus _{j\in J}L_{j}\right)}=\biguplus _{j\in J}{\left(Q_{i}\cap L_{j}\right)}\,.$

Nach Fakt sind die Durchschnitte rechts selbst Quader. Damit erhalten wir eine dritte Darstellung von ${}V$, die beide Darstellungen verfeinert. Daher können wir gleich annehmen, dass jedes ${}L_{j}$ Teilmenge eines ${}Q_{i}$ ist. Dann ist insbesondere ${}Q_{i}=\biguplus _{j\in J_{i}}L_{j}$ mit einer gewissen Teilmenge ${}J_{i}\subseteq J$, wobei die ${}J_{i}$ für verschiedene ${}i$ disjunkt sind. Es genügt also, für einen Quader

${}Q=A\times B=\biguplus _{j\in J}L_{j}\,$

die Gleichheit

${}\mu (Q)=\sum _{j\in J}\mu (L_{j})\,$

zu zeigen. Da ${}J$ endlich ist, sind überhaupt nur endlich viele Seiten ${}S_{j}$ aus ${}{\mathcal {P}}$ und ${}T_{j}$ aus ${}{\mathcal {R}}$ an diesen überdeckenden Quadern beteiligt. Aus diesen Seiten kann man ein Mengensystem ${}{\mathcal {S}}$ bilden, das aus allen möglichen feinsten Durchschnitten der ${}S_{j}$ und ihrer Komplemente ${}A\setminus S_{j}$ besteht, und ein Mengensystem ${}{\mathcal {T}}$ bilden, das aus allen möglichen feinsten Durchschnitten der ${}T_{j}$ und ihrer Komplemente ${}B\setminus T_{j}$ besteht. Diese Mengen sind disjunkt und seien mit ${}S_{\lambda }$, ${}\lambda \in \Lambda$, und ${}T_{\gamma }$, ${}\gamma \in \Gamma$, bezeichnet (das bedeutet, dass wir ein „Raster“ einführen). Damit kann man jeden Quader ${}L_{j}$ als eine endliche disjunkte Vereinigung aus Quadern der Form ${}S_{\lambda }\times T_{\gamma }$ schreiben, und zwar als

${}L_{j}={\left(\biguplus _{\lambda \in \Lambda _{j}}S_{\lambda }\right)}\times {\left(\biguplus _{\gamma \in \Gamma _{j}}T_{\gamma }\right)}=\biguplus _{(\lambda ,\gamma )\in \Lambda _{j}\times \Gamma _{j}}S_{\lambda }\times T_{\gamma }\,,$

und jeder dieser Quader kommt in genau einem ${}L_{j}$ vor. Insgesamt ergibt sich

${}{\begin{aligned}\mu (Q)&=\pi (A)\cdot \rho (B)\\&=\pi {\left(\biguplus _{\lambda \in \Lambda }S_{\lambda }\right)}\cdot \rho {\left(\biguplus _{\gamma \in \Gamma }T_{\gamma }\right)}\\&={\left(\sum _{\lambda \in \Lambda }\pi (S_{\lambda })\right)}\cdot {\left(\sum _{\gamma \in \Gamma }\rho (T_{\gamma })\right)}\\&=\sum _{(\lambda ,\gamma )\in \Lambda \times \Gamma }\pi (S_{\lambda })\cdot \rho (T_{\gamma })\\&=\sum _{j\in J}{\left(\sum _{(\lambda ,\gamma )\in \Lambda _{j}\times \Gamma _{j}}\pi (S_{\lambda })\cdot \rho (T_{\gamma })\right)}\\&=\sum _{j\in J}{\left(\sum _{\lambda \in \Lambda _{j}}\pi (S_{\lambda })\right)}\cdot {\left(\sum _{\gamma \in \Gamma _{j}}\rho (T_{\gamma })\right)}\\&=\sum _{j\in J}\mu (L_{j}).\end{aligned}}$

(2). Es sei ${}V=\biguplus _{n\in \mathbb {N} }V_{n}$ eine abzählbare disjunkte Vereinigung, wobei ${}V$ und die ${}V_{n}$ endliche disjunkte Vereinigungen von Quadern sind. Wir müssen ${}\mu (V)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (V_{n})$ zeigen. Dies kann man direkt auf den Fall zurückführen, wo ${}V=Q$ und ${}V_{n}=Q_{n}$ Quader sind. Zu einer Teilmenge

${}T\subseteq M\times N\,$

und zu ${}x\in M$ betrachten wir

${}T(x)={\left\{y\in N\mid (x,y)\in T\right\}}\,.$

Wenn ${}T$ zum Produkt-Präring gehört, also eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern ist, so gehören diese Mengen zu ${}{\mathcal {R}}$, da sie eine endliche Vereinigung gewisser (${}N$-)Seiten dieser Quader sind. Zu einer positiven reellen Zahl ${}a$ kann man die Menge

${}T^{a}={\left\{x\in M\mid \rho (T(x))=a\right\}}\,$

betrachten. Dies Menge ist wiederum eine endliche Vereinigung von (${}M$-)Seiten der beteiligten Quader und gehört somit zu ${}{\mathcal {P}}$. Weiterhin kann ${}T^{a}\neq \emptyset$ nur für endlich viele Werte ${}a\in \mathbb {R}$ sein, nämlich nur für die Teilsummen der Werte des Prämaßes ${}\rho$ der (${}N$-)Seiten der beteiligten Quader. Mit diesen Notationen gilt

${}\mu (T)=\sum _{a\in \mathbb {R} _{+}}\pi (T^{a})\cdot a\,,$

da dies für jeden Quader gilt und daraus durch Aufsummieren folgt.
Sei also nun ${}Q=\biguplus _{n\in \mathbb {N} }Q_{n}$ eine abzählbare Zerlegung in Quader. Wir müssen

${}{\begin{aligned}\mu (Q)&=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (Q_{i})\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=0}^{n}\mu (Q_{i})\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (Q_{0}\uplus \ldots \uplus Q_{n})\end{aligned}}$

zeigen. Nach Übergang zu den Komplementen in ${}Q$ ist dies äquivalent damit, dass

${}\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})=0\,$

ist für ${}T_{n}=Q\setminus (Q_{0}\uplus \ldots \uplus Q_{n})$. Es ist ${}T_{n}\downarrow \emptyset$, und damit ist auch ${}T_{n}(x)\downarrow \emptyset$ für jedes ${}x\in M$. Nach Fakt ist daher ${}\lim _{n\rightarrow \infty }\rho (T_{n}(x))=0$. Zu ${}\delta >0$ definieren wir

${}T_{n}^{\geq \delta }={\left\{x\in M\mid \rho (T_{n}(x))\geq \delta \right\}}=\bigcup _{a\geq \delta }T_{n}^{a}\,.$

Da für jedes ${}x\in M$ die Folge ${}\rho (T_{n}(x))$ gegen ${}0$ konvergiert, schrumpft die Mengenfolge ${}T_{n}^{\geq \delta }$ für jedes ${}\delta >0$ gegen ${}\emptyset$. Daraus folgt, wieder mit Fakt, dass ${}\lim _{n\rightarrow \infty }\pi (T_{n}^{\geq \delta })=0$.
Seien nun ${}\delta ,\epsilon >0$ gegeben. Zu ${}\epsilon$ gibt es ein ${}n_{0}$ mit

${}\pi (T_{n}^{\geq \delta })\leq \epsilon \,$

für alle ${}n\geq n_{0}$. Für diese ${}n$ hat man dann insgesamt die Abschätzung

${}{\begin{aligned}\mu (T_{n})&=\sum _{a\in \mathbb {R} _{+}}\pi (T_{n}^{a})\cdot a\\&={\left(\sum _{a<\delta }\pi (T_{n}^{a})\cdot a\right)}+{\left(\sum _{\rho (N)\geq a\geq \delta }\pi (T_{n}^{a})\cdot a\right)}\\&\leq {\left(\sum _{a<\delta }\pi (T_{n}^{a})\cdot a\right)}+{\left(\sum _{\rho (N)\geq a\geq \delta }\pi (T_{n}^{a})\right)}\rho (N)\\&\leq \pi (M)\cdot \delta +\epsilon \cdot \rho (N).\end{aligned}}$

Da nach Voraussetzung ${}\pi (M)$ und ${}\rho (N)$ endlich sind, kann man den letzten Term durch geeignete Wahl von ${}\delta$ und ${}\epsilon$ beliebig klein machen. Daher konvergiert ${}\mu (T_{n})$ gegen ${}0$.

Zur bewiesenen Aussage