Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 9/latex
\setcounter{section}{9}
In diesem Arbeitsblatt geht es ausschließlich um das Lebesgue-Integral, es darf nicht mit dem Riemann-Integral argumentiert werden.
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {} Mengen und es seien
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {} und
\maabbdisp {f} {N} {\R
} {}
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Subgraphen}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\varphi \times \operatorname{Id}_\R)^{-1} (S(f))
}
{ =} {S(f \circ \varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Integral}{}{} der Nullfunktion gleich $0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Integral}{}{} einer \definitionsverweis {messbaren Funktion}{}{} über einer \definitionsverweis {Nullmenge}{}{} gleich $0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{,}
\maabbdisp {f} {M} { \overline{ \R }
} {}
eine
\definitionsverweis {messbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \overline{ \R }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left\{ (x,c) \mid f(x) = c \right\} }
}
{ \subseteq} { M \times \overline{ \R }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Nullmenge ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{,} sei
\mathl{f}{} eine
\definitionsverweis {integrierbare}{}{}
\definitionsverweis {nichtnegative}{}{}
\definitionsverweis {numerische Funktionen}{}{} auf $M$ und $a \in \R_{\geq 0}$. Zeige, dass auch $af$ integrierbar ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } af \, d \mu
}
{ =} {a \cdot\int_{ M } f \, d \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {abzählbare Menge}{}{,}
die mit dem
\definitionsverweis {Zählmaß}{}{}
versehen sei, und sei
\maabbdisp {f} {M} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Zeige, dass $f$ genau dann
\definitionsverweis {integrierbar}{}{}
ist, wenn die Familie
\mathbed {f(m)} {}
{m \in M} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist, und dass in diesem Fall das
\definitionsverweis {Integral}{}{}
gleich der
\definitionsverweis {Summe}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Flächeninhalt}{}{}
des
\definitionsverweis {Subgraphen}{}{}
zur
\definitionsverweis {linearen Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {cx
} {,}
über dem Intervall
\mathl{[a,b]}{} mit
\mathl{c \geq 0,\, b \geq a \geq 0}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Flächeninhalt}{}{}
des
\definitionsverweis {Subgraphen}{}{}
zur
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {1 + \sin x
} {,}
über dem Intervall
\mathl{[0, 2 \pi ]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{M}{} eine Menge und es sei
\mathl{T_n \uparrow M}{} eine Ausschöpfung von $M$ mit Teilmengen
\mathbed {T_n \subseteq M} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {.}
Zu jedem
\mathl{n \in \N}{} sei
\mathl{A_n \subseteq M \times \R}{} der Subgraph zur Indikatorfunktion
\mathl{e_{ T_n }}{.} Zeige, dass die
\mathbed {A_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine Ausschöpfung von
\mathl{M \times [0,1]}{} bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {}
zwei
\definitionsverweis {endliche Maßräume}{}{} und es sei
\maabbdisp {f} {M } { \overline{ \R }
} {}
\definitionsverweis {integrierbare Funktion}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_{M \times N} f d \mu \otimes \nu
}
{ =} { \nu (N) \cdot \int_M f(x) d \mu (x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {[-1,1]} {\R
} {t} { 1- t^2
} {.}
Für welches
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
Tschebyschow-Abschätzung
für diese Funktion am besten?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R^n} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {integrierbare Funktion}{}{.}
Zeige, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ \R_{+}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{\R^n \setminus B \left( 0,r \right) } f d \lambda^n
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {L} {\R^n} { \R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ = }{ L(M)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {} {N} { \overline{ \R }
} {}
eine
\definitionsverweis {messbare Funktion}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_M { \left( f \circ \varphi \right) } d \lambda^n
}
{ =} { \int_N f { \left( \det L \right) }^{-1} d \lambda^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Zeige, dass $f$
\definitionsverweis {integrierbar}{}{}
ist. Man gebe auch eine Abschätzung für das Integral
\mathl{\int_{ T } f \, d \lambda^n}{} an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{.} Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abbildung
\maabbeledisp {} {M \times \R} {M \times \R
} {(x,t)} {(x,t+r)
} {,}
\definitionsverweis {maßtreu}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Volumen}{}{}
des
\definitionsverweis {Subgraphen}{}{}
zur
\definitionsverweis {linearen Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {cx+dy
} {,}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ c,d
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
über dem Einheitsquadrat
\mathl{[0,1] \times [0,1]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {[0,\pi]} {\R
} {t} { \sin t
} {.}
Für welches
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
Tschebyschow-Abschätzung
für diese Funktion am besten? Bestimme $a$ numerisch bis auf $5$ Nachkommastellen.
}
{} {}