Kurs:Maschinelles Lernen/Matrizen
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Definiton
BearbeitenEs sollen Abbildungen zwischen den beiden Vektorräumen und untersucht werden. Eine spezielle Klasse von Abbildungen sind dabei die linearen Abbildungen. Ist eine Abbildung linear, so muss diese für zwei Vektoren und des und zwei reelle Zahlen und stets den Zusammenhang
erfüllen. Es lässt sich dann zeigen, dass sich die Abbildung durch eine Ansammlung von reellen Zahlen mit und durch
beschreiben. Werden nun die Zahlen entsprechend ihres Auftretens angeordnet, so wird diese Ansammlung in einem Raster der Form
als Matrix bezeichnet. Die Menge aller reellen Matrizen mit Zeilen und Spalten wird als bezeichnet.
Bei der Anwendung auf einen Vektor können die Komponenten des Ergebnisvektors dann durch
gefunden werden.
Aufgabe
BearbeitenGegeben seien die Matrix
und der Vektor
Berechne
Hintereinanderausführung
BearbeitenFür Funktionen ist bekannt, dass sich diese in der Form verketten lassen, wenn der Bildbereich von eine Teilmenge des Definitionsbereich von ist. (Andernfalls muss der Definitionsbereich von für die Verkettung eingeschränkt werden). Genauso muss für die Verkettung der durch Matrizen definierten Abbildungen der Ergebnisvektor im Vektorraum liegen, den die zweite Abbildung entgegen nimmt. Ist also , so muss die Matrix über Spalten verfügen, um den Vektor entgegen nehmen zu können. Die Zahl der Zeilen von hingegen kann wieder frei gewählt werden. Um die Verkettung bestimmen zu können, muss also aus dem stammen. Das Ergebnis der Verkettung ist daher ein Vektor des . Somit bildet die Verkettung vom auf den ab und ist als Verkettung zweier linearer Funktionen selbst wieder linear. Damit muss sie sich durch eine Matrix darstellen lassen. Durch das Anwenden der Matrizen auf einen entsprechenden Vektor kann der Zusammenhang
gefunden werden, woraus ersichtlich ist, dass sich die Matrix gemäß
als ein Produkt zweier Matrizen definieren lässt. Auf diese Weise wird die Matrixmultiplikation definiert.
Als Beispiel können die beiden Matrizen
betrachtet werden. Da es sich um quadratische Matrizen handelt, können die beiden Matrixprodukte
gefunden werden. Sie sind nicht gleich, woran sich bereits zeigt, dass selbst für quadratische Matrizen im Allgemeinen nicht gilt.
Aufgabe
BearbeitenGegeben seien die beiden Matrizen
und
finde alle Matrixprodukte.
Invertieren einer Matrix
BearbeitenIm gibt es eine Matrix mit der Eigenschaft, dass sie jeden beliebigen Vektor unverändert lässt, also für beliebige erfüllt. Diese Matrix wird als Einheitsmatrix bezeichnet. Sie ist dadurch definiert, dass nur auf der Diagonalen die Einträge und sonst Nullen stehen. Für die Matrixmultiplikation stellt sie das neutrale Element dar.
Ist und existiert ein für die
gilt, so wird als die Inverse Matrix von bezeichnet. Sie erlaubt es Gleichungen der Art
mit nach eindeutig zu lösen.
Anhand der Rechnung
lässt sich sehen, dass beim Invertieren eines Produktes auch die Reihenfolge getauscht werden muss.
Aufgabe
BearbeitenGegeben Sei die Matrix
Bestimme die Inverse Matrix und finde so und aus der Gleichung
Vektoren als Matrizen
BearbeitenVektoren können als Matrizen mit einer Spalte aufgefasst werden. Diese Matrizen müssten demnach aus dem stammen. Es gibt allerdings auch die Matrizen der Form , die also über eine Zeile und Spalten verfügen. Diese werden als transponierte Vektoren bezeichnet. Ist ein Vektor
gegeben, so ist sein transponierter Vektor durch
bestimmt.
Damit lässt sich das Skalarprodukt als Matrixmultiplikation auffassen. Daneben kann durch
auch eine Matrix mit den Komponenten
konstruiert werden.
Aufgabe
BearbeitenGegeben seien die Vektoren
Bestimme die Ausdrücke , , und .
Transponieren von Matrizen
BearbeitenDie Matrix mit den Komponenten
hat auf von rechts multipliziert die gleiche Wirkung, wie die Matrix auf von links multipliziert. Sie wird als Transponierte (Matrix) von bezeichnet.
Wie auch beim Invertieren, muss beim Transponieren von Produkten die Reihenfolge gemäß
umgekehrt werden.
Damit kann für die Vektorprodukte auch
und
gefunden werden.
Aufgabe
BearbeitenEs seien die Matrizen
gegeben. Bestimme , , und .