Vorherige Seite: K0 - Vektoren
Nächste Seite: K1 - Grundbegriffe des maschinellen Lernens

Definiton

Bearbeiten

Es sollen Abbildungen zwischen den beiden Vektorräumen   und   untersucht werden. Eine spezielle Klasse von Abbildungen sind dabei die linearen Abbildungen. Ist eine Abbildung   linear, so muss diese für zwei Vektoren   und   des   und zwei reelle Zahlen   und   stets den Zusammenhang

 

erfüllen. Es lässt sich dann zeigen, dass sich die Abbildung durch eine Ansammlung von   reellen Zahlen   mit   und   durch

 

beschreiben. Werden nun die Zahlen entsprechend ihres Auftretens angeordnet, so wird diese Ansammlung in einem   Raster der Form

 

als Matrix bezeichnet. Die Menge aller reellen Matrizen mit   Zeilen und   Spalten wird als   bezeichnet.

Bei der Anwendung auf einen Vektor können die Komponenten des Ergebnisvektors dann durch

 

gefunden werden.

Gegeben seien die Matrix

 

und der Vektor

 

Berechne  

Lösungen

Hintereinanderausführung

Bearbeiten

Für Funktionen ist bekannt, dass sich diese in der Form   verketten lassen, wenn der Bildbereich von   eine Teilmenge des Definitionsbereich von   ist. (Andernfalls muss der Definitionsbereich von   für die Verkettung eingeschränkt werden). Genauso muss für die Verkettung der durch Matrizen definierten Abbildungen der Ergebnisvektor im Vektorraum liegen, den die zweite Abbildung entgegen nimmt. Ist also  , so muss die Matrix   über   Spalten verfügen, um den Vektor   entgegen nehmen zu können. Die Zahl der Zeilen von   hingegen kann wieder frei gewählt werden. Um die Verkettung   bestimmen zu können, muss   also aus dem   stammen. Das Ergebnis der Verkettung ist daher ein Vektor des  . Somit bildet die Verkettung vom   auf den   ab und ist als Verkettung zweier linearer Funktionen selbst wieder linear. Damit muss sie sich durch eine Matrix   darstellen lassen. Durch das Anwenden der Matrizen auf einen entsprechenden Vektor kann der Zusammenhang

 

gefunden werden, woraus ersichtlich ist, dass sich die Matrix   gemäß

 

als ein Produkt zweier Matrizen definieren lässt. Auf diese Weise wird die Matrixmultiplikation definiert.

Als Beispiel können die beiden Matrizen

 

betrachtet werden. Da es sich um quadratische Matrizen handelt, können die beiden Matrixprodukte

 

gefunden werden. Sie sind nicht gleich, woran sich bereits zeigt, dass selbst für quadratische Matrizen im Allgemeinen   nicht gilt.

Gegeben seien die beiden Matrizen

 

und

 

finde alle Matrixprodukte.

Lösungen

Invertieren einer Matrix

Bearbeiten

Im   gibt es eine Matrix   mit der Eigenschaft, dass sie jeden beliebigen Vektor   unverändert lässt, also   für beliebige   erfüllt. Diese Matrix wird als Einheitsmatrix bezeichnet. Sie ist dadurch definiert, dass nur auf der Diagonalen die Einträge   und sonst Nullen stehen. Für die Matrixmultiplikation stellt sie das neutrale Element dar.

Ist   und existiert ein   für die

 

gilt, so wird   als die Inverse Matrix von   bezeichnet. Sie erlaubt es Gleichungen der Art

 

mit   nach   eindeutig zu lösen.

Anhand der Rechnung

 

lässt sich sehen, dass beim Invertieren eines Produktes auch die Reihenfolge getauscht werden muss.

Gegeben Sei die Matrix

 

Bestimme die Inverse Matrix und finde so   und   aus der Gleichung

 

Lösungen

Vektoren als Matrizen

Bearbeiten

Vektoren können als Matrizen mit einer Spalte aufgefasst werden. Diese Matrizen müssten demnach aus dem   stammen. Es gibt allerdings auch die Matrizen der Form  , die also über eine Zeile und   Spalten verfügen. Diese werden als transponierte Vektoren bezeichnet. Ist ein Vektor

  

gegeben, so ist sein transponierter Vektor durch

  

bestimmt.

Damit lässt sich das Skalarprodukt als Matrixmultiplikation   auffassen. Daneben kann durch

 

auch eine Matrix mit den Komponenten

 

konstruiert werden.

Gegeben seien die Vektoren

 

Bestimme die Ausdrücke  ,  ,   und  .

Lösungen

Transponieren von Matrizen

Bearbeiten

Die Matrix   mit den Komponenten

 

hat auf   von rechts multipliziert die gleiche Wirkung, wie die Matrix   auf   von links multipliziert. Sie wird als Transponierte (Matrix) von   bezeichnet.

Wie auch beim Invertieren, muss beim Transponieren von Produkten die Reihenfolge gemäß

 

umgekehrt werden.

Damit kann für die Vektorprodukte auch

 

und

 

gefunden werden.

Es seien die Matrizen

 

gegeben. Bestimme  ,  ,   und  .

Lösungen