Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 48/latex

\setcounter{section}{48}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{} \definitionsverweis {offen}{}{,}
\mathl{P \in G}{} und seien \maabbdisp {f,g} {G} {\R } {} zwei zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{.} Zeige durch ein Beispiel, dass das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} zum Produkt $fg$ im Punkt $P$ vom Grad $\leq 2$ nicht das Produkt der beiden Taylor-Polynome von \mathkor {} {f} {und} {g} {} in
\mathl{P}{} vom Grad $\leq 1$ sein muss.

}
{} {}

Wenn in den folgenden Aufgaben nach Extrema gefragt wird, so ist damit gemeint, dass man die Funktionen auf (isolierte) lokale und globale Extrema untersuchen soll. Zugleich soll man, im differenzierbaren Fall, die kritischen Punkte bestimmen.


\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2-y^2 } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2-y^4 } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {2x^2+3y^2+5xy } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {2x^2+3y^2+4xy } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy^2-x^3y } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {G} {\R } {} eine zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,} wobei
\mathl{G \subseteq \R^n}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{} sei. Zeige, dass für
\mathl{P \in G}{} und
\mathl{v \in V}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ r \in \N^n,\, \betrag { \, r \, } = 2 } { \frac{ 1 }{ r! } } D^r f(P) \cdot v^r }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \operatorname{Hess}_{ P } \, f ( v,v) }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} und
\mathl{P \in G}{.} Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbaren Funktionen}{}{} \maabbdisp {f,g} {G} {\R } {} an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in $P$ übereinstimmen, und die eine Funktion ein \definitionsverweis {Extremum}{}{} in $P$ besitzt, die andere nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mathl{\dim_{ \! } { \left( V \right) } \geq 2}{,}
\mathl{G \subseteq V}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} und
\mathl{P \in G}{.} Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbaren Funktionen}{}{} \maabbdisp {f,g} {G} {\R } {} an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in $P$ übereinstimmen, und die eine Funktion ein \definitionsverweis {Extremum}{}{} in $P$ besitzt, die andere nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R^n} {\R } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{} und
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $\R^n$ mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen
\mathl{z_i,\, i=1 , \ldots , n}{.} Zeige, dass $f$ auch eine Polynomfunktion in diesen Koordinaten ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und \maabbdisp {f} {G} {\R} {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es maximal ein Polynom
\mathl{p(x_1 , \ldots , x_n)}{} vom Grad $\leq k$ mit der Eigenschaft geben kann, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \frac{ \Vert {f(x)-p(x)} \Vert }{ \Vert {x} \Vert^k } } }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{} \definitionsverweis {offen}{}{,}
\mathl{P \in G}{} und seien \maabbdisp {f,g} {G} {\R } {} zwei $k$-mal \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{} mit den \definitionsverweis {Taylor-Polynomen}{}{} \mathkor {} {T_k(f)} {und} {T_k(g)} {} in $P$ vom Grad
\mathl{\leq k}{.} Zeige, dass das Produkt $fg$ ebenfalls $k$-mal \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} ist, und dass für das Taylor-Polynom
\mathl{T_k(fg)}{} von $fg$ in $P$ vom Grad $\leq k$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T_k(fg) }
{ =} { ( T_k(f) \cdot T_k(g) )_{\leq k} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht, wobei der Subskript
\mathl{{\leq k}}{} bedeutet, dass das Polynom bis zum Grad $k$ genommen wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{I = {] {- { \frac{ \pi }{ 2 } }} , { \frac{ \pi }{ 2 } } [}}{.} Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {I \times I } {\R } {(x,y)} { { \frac{ \cos x }{ \cos y } } } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+9y^2+6xy } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei \maabbdisp {h} {\R_{\geq 0}} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} und betrachte \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {h(x^2+y^2) } {.} Zeige, dass $f$ allenfalls im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} ein \definitionsverweis {isoliertes lokales Extremum}{}{} besitzen kann, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn $h$ in $0$ ein isoliertes lokales Extremum besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Funktion \maabbdisp {f} {\R^2} {\R } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y) }
{ =} { \begin{cases} xy { \frac{ x^2-y^2 }{ x^2+y^2 } } \text{ für } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ für } (x,y) = (0,0) \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zweimal \definitionsverweis {partiell differenzierbar}{}{} ist, und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_1D_2f(0,0) }
{ \neq} { D_2D_1f(0,0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}