Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 49

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der euklidische Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ vollständig ist.

Aufgabe

Es sei

f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ , die Lipschitz-stetig sei. Zeige, dass ${}f$ auch gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Betragsfunktion

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,

Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ${}1$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge und es sei

F\colon M\longrightarrow M

eine Abbildung. Zeige, dass ${}F$ genau dann einen Fixpunkt besitzt, wenn der Durchschnitt des Graphen von ${}F$ mit der Diagonalen ${}\triangle ={\left\{(x,x)\in M\times M\mid x\in M\right\}}$ nicht leer ist.

Aufgabe

Es sei

D={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 0<\Vert {(x,y)}\Vert \leq 1\right\}}.

Man gebe ein Beispiel für eine starke Kontraktion

f\colon D\longrightarrow D,

die keinen Fixpunkt besitzt.

Aufgabe

Sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

eine wachsende Funktion, die zugleich eine starke Kontraktion sei. Zeige, dass dann die Funktion

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)-x,

streng fallend ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven differenzierbaren Abbildung

\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}

mit einer stetigen Umkehrabbildung ${}\psi$ derart, dass ${}\psi$ nicht differenzierbar ist.

Aufgabe

Es sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),

eine Funktion. Zeige, dass die Abbildung

\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x,y+f(x)),

bijektiv ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.

Was besagt in der vorstehenden Aufgabe der Satz über die Umkehrabbildung, wenn ${}f$ differenzierbar ist?

Aufgabe

Es seien

f_{1},\ldots ,f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

stetig differenzierbare Funktionen. Betrachte die Abbildung

f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (f_{1}(x_{1}),\ldots ,f_{n}(x_{n})),

Zeige:

Die Abbildung ${}f$ ist differenzierbar.
Das totale Differential von ${}f$ in ${}0$ ist genau dann bijektiv, wenn von sämtlichen Funktionen ${}f_{i},\,i=1,\ldots ,n$ , die Ableitungen in ${}0$ nicht ${}0$ sind.
${}f$ ist genau dann auf einer offenen Umgebung von ${}0$ bijektiv, wenn die einzelnen ${}f_{i}$ in einer geeigneten Umgebung bijektiv sind.

In den folgenden Aufgaben seien die Homomorphismenräume ${}\operatorname {Hom} \,(V,W)$ mit der Norm

\Vert {\varphi }\Vert :={\operatorname {sup} \,(\Vert {\varphi (v)}\Vert ,\Vert {v}\Vert =1)}

versehen (vergleiche auch Arbeitsblatt 22).

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und sei ${}G=\operatorname {Gl} (n,\mathbb {R} )$ die Menge der reellen invertierbaren ${}n\times n$ -Matrizen. Zeige, dass die Abbildung

G\longrightarrow G,\,M\longmapsto M^{-1},

stetig ist.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume, ${}G\subseteq V$ offen und sei

\varphi \colon G\longrightarrow W

eine Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann stetig differenzierbar ist, wenn ${}\varphi$ total differenzierbar ist und wenn die Abbildung

G\longrightarrow \operatorname {Hom} \,(V,W),\,P\longmapsto \left(D\varphi \right)_{P},

stetig ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M$ ein vollständiger metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass ${}T$ genau dann vollständig ist, wenn ${}T$ abgeschlossen ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Seien ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ offene Mengen in euklidischen Vektorräumen ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ . Es sei

\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}

eine bijektive Abbildung, die in einem Punkt ${}P\in U_{1}$ differenzierbar sei derart, dass die Umkehrabbildung in ${}Q=\varphi (P)$ auch differenzierbar ist. Zeige, dass das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ bijektiv ist.