Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 49/latex

\setcounter{section}{49}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {euklidische Raum}{}{} $\R^n$ \definitionsverweis {vollständig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} { L} { M } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{} \mathkor {} {L} {und} {M} {,} die \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} sei. Zeige, dass $f$ auch \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \betrag { x } } {,} \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} mit \definitionsverweis {Lipschitz-Konstante}{}{} $1$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und es sei \maabbdisp {F} {M} {M} {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann einen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} besitzt, wenn der Durchschnitt des \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $F$ mit der \definitionsverweis {Diagonalen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle }
{ = }{ { \left\{ (x,x) \in M \times M \mid x \in M \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht leer ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathdisp {D= { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid 0 < \Vert {(x,y)} \Vert \leq 1 \right\} }} { . }
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{} \maabbdisp {f} {D} {D } {,} die keinen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {wachsende Funktion}{}{,} die zugleich eine \definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{} sei. Zeige, dass dann die Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {f(x)-x } {,} streng fallend ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven \definitionsverweis {differenzierbaren Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {U_1} {U_2 } {} mit einer \definitionsverweis {stetigen}{}{} \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} $\psi$ derart, dass $\psi$ nicht differenzierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x,y+f(x)) } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.

}
{} {} Was besagt in der vorstehenden Aufgabe der Satz über die Umkehrabbildung, wenn $f$ differenzierbar ist?

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f_1 , \ldots , f_n} {\R} {\R } {} \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{.} Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R^n} {\R^n } {(x_1 , \ldots , x_n)} { (f_1(x_1) , \ldots , f_n(x_n)) } {,}Zeige: \aufzaehlungdrei{Die Abbildung $f$ ist \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.} }{Das totale Differential von $f$ in $0$ ist genau dann bijektiv, wenn von sämtlichen Funktionen $f_i, \, i =1 , \ldots , n$, die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} in $0$ nicht $0$ sind. }{$f$ ist genau dann auf einer offenen Umgebung von $0$ bijektiv, wenn die einzelnen $f_i$ in einer geeigneten Umgebung bijektiv sind. }

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben seien die \definitionsverweis {Homomorphismenräume}{}{}
\mathl{\operatorname{Hom} \, (V,W)}{} mit der \definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathdisp {\Vert {\varphi} \Vert := {\operatorname{sup} \, ( \Vert { \varphi(v)} \Vert , \Vert {v} \Vert = 1 ) }} { }
versehen \zusatzklammer {vergleiche auch Arbeitsblatt 22} {} {.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{n \in \N}{} und sei
\mathl{G= \operatorname{Gl} (n, \R)}{} die Menge der \definitionsverweis {reellen}{}{} \definitionsverweis {invertierbaren}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {G} {G } {M} {M^{-1} } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {W } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} ist, wenn $\varphi$ \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist und wenn die Abbildung \maabbeledisp {} {G} { \operatorname{Hom} \, (V,W) } {P} { \left(D\varphi\right)_{P} } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {vollständiger metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann vollständig ist, wenn $T$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Seien \mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {} \definitionsverweis {offene Mengen}{}{} in \definitionsverweis {euklidischen Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {U_1} {U_2 } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{,} die in einem Punkt
\mathl{P \in U_1}{} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} sei derart, dass die Umkehrabbildung in
\mathl{Q=\varphi(P)}{} auch differenzierbar ist. Zeige, dass das \definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} bijektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{} \maabbdisp {f} {\Q} {\Q } {,} die keinen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R_{ >1}} {\R } {x} {f(x) = 1 + \ln x } {,} folgende Eigenschaften besitzt: Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(y) } }
{ <} { \betrag { x-y } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathbed {x,y \in \R_{>1}} {}
{x \neq y} {}
{} {} {} {,} aber $f$ ist nicht \definitionsverweis {stark kontrahierend}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen zwei \definitionsverweis {euklidischen Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {} genau dann \definitionsverweis {stark kontrahierend}{}{} ist, wenn
\mathl{\Vert {\varphi} \Vert < 1}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} zur Abbildung \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x+y^2,-y^4-2xy^2-x^2+y^2+x+y) } {.}

}
{} {(Tipp: Versuche, diese Funktion als Hintereinanderschaltung von einfacheren Abbildungen zu schreiben.)}