Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 54/latex

\setcounter{section}{54}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $L$ und $M$ \definitionsverweis {metrische Räume}{}{} und es seien \maabbdisp {f,g} {L} {M } {} zwei \definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{.} Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N }
{ =} { { \left\{ x \in L \mid f(x) = g(x) \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $L$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $M,N,L$ Mengen. Stifte eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen
\mathdisp {\operatorname{Abb} \, { \left( M \times N , L \right) } \text{ und } \operatorname{Abb} \, { \left( M , \operatorname{Abb} \, { \left( N , L \right) } \right) }} { . }

}
{} {} Was bedeutet die vorstehende Aufgabe für Vektorfelder?

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {F} {I \times U} {V } {(t,v)} {F(t,v) } {,} ein \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {konstante Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {I} {U } {t} {\varphi(t) = c } {,} genau dann eine Lösung der \definitionsverweis {zugehörigen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v' }
{ = }{ F(t,v) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(t,c) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {h} {\R^n} {\R } {} eine \definitionsverweis {Linearform}{}{.} Bestimme das zugehörige \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} und die \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der zugehörigen Differentialgleichung.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {BodyMassIndex.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { BodyMassIndex.png } {} {Thire} {Commons} {CC-by-sa 2.5} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R_+ \times \R_+} {\R } {(m,l)} { { \frac{ m }{ l^2 } } } {,} berechnet, wobei $m$ für die Masse und $l$ für die Länge eines Menschen \zusatzklammer {oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes} {} {} steht \zusatzklammer {in den Einheiten Kilogramm und Meter} {} {.} \aufzaehlungsieben{Für welche Punkte ist diese Abbildung \definitionsverweis {regulär}{}{?} }{Skizziere das zugehörige \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{.} }{Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem \definitionsverweis {Gradienten}{}{} dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab? }{Wie lassen sich die \definitionsverweis {Fasern}{}{} dieser Abbildung als \definitionsverweis {Graphen}{}{} von Funktionen beschreiben? }{Berechne die \definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{} von $\varphi$ und bestimme ihren \definitionsverweis {Typ}{}{} in jedem Punkt. }{Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf
\mathl{[30,300] \times [1,2]}{} einschränkt, und welche Werte besitzt er dann? }{Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge $T$ ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, \definitionsverweis {Produktabbildung}{}{} und \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{U \subseteq V}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} in einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{} $V$. Es sei \maabbeledisp {} {I \times U} {V } {(t,v)} {f(t,v) } {,} ein \stichwort {Zentralfeld} {,} d.h. ein \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} $f$ vom Typ
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(t,v) }
{ =} { g(t,v) \cdot v }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbeledisp {g} {I \times U} {\R } {(t,v)} {g(t,v) } {.} Zeige, dass zu einem fixierten
\mathl{w \in U}{} die \definitionsverweis {Lösungen}{}{} \maabbdisp {\alpha} {J} {\R } {} der eindimensionalen Differentialgleichung
\mathdisp {y'= h(t,y) := g(t, y w ) y \text{ mit } \alpha(t_0 )=1} { }
zu Lösungen der Differentialgleichung
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ mit } v(t_0) = w} { }
führen.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {zeitunabhängige Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {v} {3 v^{2/3} = 3 \sqrt[3]{v^2} } {.} Zeige direkt, dass dieses \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, aber nicht \definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{} genügt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} offen und \maabbdisp {F} {U} {V } {} ein \definitionsverweis {zeitunabhängiges Vektorfeld}{}{.} Es sei \maabbdisp {v} {J} {U } {} eine \definitionsverweis {Lösung}{}{} der zugehörigen Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v' }
{ = }{ F(v) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es gebe zwei Zeitpunkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0 }
{ \neq }{ t_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in $J$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v(t_0) }
{ = }{ v(t_1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es dann eine auf ganz $\R$ definierte Lösung dieser Differentialgleichung gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Lösungen der Differentialgleichung}{}{,} die zum \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} der Funktion \maabbeledisp {h} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x+y^2 } {,} gehört.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde die Lösung $\varphi$ des \definitionsverweis {Anfangswertproblems}{}{} für das \definitionsverweis {Zentralfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R \times \R^2} {\R^2 } {(t,v,w)} { (t^3-t) (v,w) = ((t^3-t)v,(t^3-t)w ) } {,} mit
\mathl{\varphi(0)=(2,3)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde die Lösung $\varphi$ des \definitionsverweis {Anfangswertproblems}{}{} für das \definitionsverweis {Zentralfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R \times \R^2} {\R^2 } {(t,v,w)} { (t^2v ) (v,w) = (t^2v^2,t^2vw ) } {,} mit
\mathl{\varphi(0)=(5,-1)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde alle polynomialen Lösungen der \definitionsverweis {Differentialgleichung dritter Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime \prime} }
{ =} { 9y -3t y' +y^{\prime \prime} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}