Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 54

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und es seien

$f,g\colon L\longrightarrow M$

zwei stetige Abbildungen. Zeige, dass die Menge

${}N={\left\{x\in L\mid f(x)=g(x)\right\}}\,$

abgeschlossen in ${}L$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}M,N,L$ Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen

$\operatorname {Abb} \,{\left(M\times N,L\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Abb} \,{\left(M,\operatorname {Abb} \,{\left(N,L\right)}\right)}.$

Was bedeutet die vorstehende Aufgabe für Vektorfelder?

Aufgabe

Es sei

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v),$

ein Vektorfeld. Zeige, dass eine konstante Abbildung

$\varphi \colon I\longrightarrow U,\,t\longmapsto \varphi (t)=c,$

genau dann eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ${}v'=F(t,v)$ ist, wenn ${}F(t,c)=0$ für alle ${}t\in I$ ist.

Aufgabe

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Linearform. Bestimme das zugehörige Gradientenfeld und die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichung.

Aufgabe

Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(m,l)\longmapsto {\frac {m}{l^{2}}},$

berechnet, wobei ${}m$ für die Masse und ${}l$ für die Länge eines Menschen (oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes) steht (in den Einheiten Kilogramm und Meter).

1. Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär?
2. Skizziere das zugehörige Gradientenfeld.
3. Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem Gradienten dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab?
4. Wie lassen sich die Fasern dieser Abbildung als Graphen von Funktionen beschreiben?
5. Berechne die Hesse-Matrix von ${}\varphi$ und bestimme ihren Typ in jedem Punkt.
6. Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf ${}[30,300]\times [1,2]$ einschränkt, und welche Werte besitzt er dann?
7. Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge ${}T$ ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, Produktabbildung und Hintereinanderschaltung.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$. Es sei

$I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Zentralfeld, d.h. ein Vektorfeld ${}f$ vom Typ

${}f(t,v)=g(t,v)\cdot v\,$

mit einer stetigen Funktion

$g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v).$

Zeige, dass zu einem fixierten ${}w\in U$ die Lösungen

$\alpha \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$

der eindimensionalen Differentialgleichung

$y'=h(t,y):=g(t,yw)y{\text{ mit }}\alpha (t_{0})=1$

zu Lösungen der Differentialgleichung

$v'=f(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w$

führen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto 3v^{2/3}=3{\sqrt[{3}]{v^{2}}}.$

Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}U\subseteq V$ offen und

$F\colon U\longrightarrow V$

ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Es sei

$v\colon J\longrightarrow U$

eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ${}v'=F(v)$. Es gebe zwei Zeitpunkte ${}t_{0}\neq t_{1}$ in ${}J$ mit ${}v(t_{0})=v(t_{1})$. Zeige, dass es dann eine auf ganz ${}\mathbb {R}$ definierte Lösung dieser Differentialgleichung gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung, die zum Gradientenfeld der Funktion

$h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y^{2},$

gehört.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Lösung ${}\varphi$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,v,w)\longmapsto (t^{3}-t)(v,w)=((t^{3}-t)v,(t^{3}-t)w),$

mit ${}\varphi (0)=(2,3)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Lösung ${}\varphi$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,v,w)\longmapsto (t^{2}v)(v,w)=(t^{2}v^{2},t^{2}vw),$

mit ${}\varphi (0)=(5,-1)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde alle polynomialen Lösungen der Differentialgleichung dritter Ordnung

${}y^{\prime \prime \prime }=9y-3ty'+y^{\prime \prime }\,.$