Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Definitionsabfrage

Definition:Treppenfunktion

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall mit den Grenzen ${}a,b\in \mathbb {R}$ . Dann heißt eine Funktion

t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

{}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b\,

von ${}I$ derart gibt, dass ${}t$ auf jedem offenen Teilintervall ${}]a_{i-1},a_{i}[$ konstant ist.

Definition:Treppenintegral

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall mit den Grenzen ${}a,b\in \mathbb {R}$ und sei

t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Treppenfunktion zur Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten ${}t_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,n$ . Dann heißt

{}T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}(a_{i}-a_{i-1})\,

das Treppenintegral von ${}t$ auf ${}I$ .

Definition:Obere Treppenfunktion

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion

t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine obere Treppenfunktion zu ${}f$ , wenn ${}t(x)\geq f(x)$ für alle ${}x\in I$ ist. Eine Treppenfunktion

s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

heißt eine untere Treppenfunktion zu ${}f$ , wenn ${}s(x)\leq f(x)$ für alle ${}x\in I$ ist.

Definition:Oberes Treppenintegral

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion

t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

von ${}f$ zur Unterteilung ${}a_{i}$ , ${}i=0,\ldots ,n$ , und den Werten ${}t_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,n$ , heißt das Treppenintegral

{}T:=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,

ein oberes Treppenintegral (oder eine Obersumme) von ${}f$ auf ${}I$ .

Definition:Unteres Treppenintegral

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion

s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

von ${}f$ zur Unterteilung ${}a_{i}$ , ${}i=0,\ldots ,n$ , und den Werten ${}s_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,n$ , heißt

{}S:=\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,

ein unteres Treppenintegral (oder eine Untersumme) von ${}f$ auf ${}I$ .

Definition:Unterintegral

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine nach unten beschränkte Funktion. Dann heißt das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von ${}f$ das Unterintegral von ${}f$ .

Definition:Oberintegral

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine nach oben beschränkte Funktion. Dann heißt das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von ${}f$ das Oberintegral von ${}f$ .

Definition:Riemann-integrierbar (kompaktes Intervall)

Es sei ${}I$ ein kompaktes Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral von ${}f$ existieren und übereinstimmen.

Definition:Bestimmtes Integral

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

f\colon I=[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),

heißt das Oberintegral (das nach Definition mit dem Unterintegral übereinstimmt) das bestimmte Integral von ${}f$ über ${}I$ . Es wird mit

\int _{a}^{b}f(t)\,dt{\text{ oder mit }}\int _{I}^{}f(t)\,dt

bezeichnet.

Definition:Integralfunktion

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Riemann-integrierbare Funktion und ${}a\in I$ . Dann heißt die Funktion

I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,

die Integralfunktion zu ${}f$ zum Startpunkt ${}a$ .

Definition:Stammfunktion

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und sei

f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }

eine Funktion. Eine Funktion

F\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }

heißt Stammfunktion zu ${}f$ , wenn ${}F$ auf ${}D$ differenzierbar ist und ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in D$ gilt.

Definition:Rationale Funktion

Zu Polynomen ${}P,Q\in {\mathbb {K} }[X]$ , ${}Q\neq 0$ , heißt die Funktion

D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},

wobei ${}D$ das Komplement der Nullstellen von ${}Q$ ist, eine rationale Funktion.

Definition:Grenzwert einer Abbildung

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge und sei ${}a\in M$ ein Berührpunkt von ${}T$ . Es sei

f\colon T\longrightarrow L

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$ . Dann heißt ${}b\in L$ der Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ in ${}a$ , wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ${}x\in B\left(a,\delta \right)\cap T$ ist ${}f(x)\in B\left(b,\epsilon \right)$ . In diesem Fall schreibt man

{}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.

Definition:Grenzwert einer Funktion gegen unendlich

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und es sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow M

eine Abbildung. Dann heißt ${}b\in M$ der Grenzwert von ${}f$ für ${}x\rightarrow \infty$ , wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}s\in \mathbb {R}$ gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ , ${}x\geq s$ , ist ${}d{\left(f(x),b\right)}\leq \epsilon$ .

Definition:Uneigentliches Integral

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, ${}r$ ein (uneigentlicher) Randpunkt von ${}I$ und ${}a\in I$ . Es sei eine stetige Funktion

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

gegeben. Man sagt, dass das uneigentliche Integral zu ${}f$ für ${}x\rightarrow r$ existiert, wenn der Grenzwert

\operatorname {lim} _{x\rightarrow r}\,\int _{a}^{x}f(t)\,dt

existiert. In diesem Fall schreibt man für diesen Grenzwert auch

\int _{a}^{r}f(t)\,dt

und nennt dies das uneigentliche Integral von ${}a$ nach ${}r$

Definition:Beidseitig uneigentliches Integral

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall mit den beiden (uneigentlichen) Randpunkten ${}r$ und ${}s$ von ${}I$ . Es sei eine stetige Funktion

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

gegeben. Man sagt, dass das (beidseitig) uneigentliche Integral

\int _{r}^{s}f(t)\,dt

existiert, wenn für ein ${}a\in I$ die beiden einseitig uneigentlichen Integrale

\int _{r}^{a}f(t)\,dt\,\,{\text{  und }}\,\,\int _{a}^{s}f(t)\,dt

existieren. In diesem Fall setzt man

{}\int _{r}^{s}f(t)\,dt:=\int _{r}^{a}f(t)\,dt+\int _{a}^{s}f(t)\,dt\,

und nennt dies das uneigentliche Integral zu ${}f$ von ${}r$ nach ${}s$ .

Definition:Fakultätsfunktion

Für ${}x\in \mathbb {R}$ , ${}x>-1$ , heißt die Funktion

x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x):=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt

die Fakultätsfunktion.

Definition:Gewöhnliche Differentialgleichung

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine Teilmenge und es sei

f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),

eine Funktion. Dann nennt man

{}y'=f(t,y)\,

die (gewöhnliche) Differentialgleichung zu ${}f$ (oder zum Vektorfeld oder zum Richtungsfeld ${}f$ ).

Definition:Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine Teilmenge und es sei

f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),

eine Funktion. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung

{}y'=f(t,y)\,

heißt eine Funktion

y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),

auf einem (mehrpunktigen) Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

Es ist ${}(t,y(t))\in U$ für alle ${}t\in I$ .
Die Funktion ${}y$ ist differenzierbar.
Es ist ${}y'(t)=f(t,y(t))$ für alle ${}t\in I$ .

Definition:Anfangswertproblem

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine Teilmenge und es sei

f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),

eine Funktion. Es sei ${}(t_{0},y_{0})\in U$ vorgegeben. Dann nennt man

y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}

das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung ${}y'=f(t,y)$ mit der Anfangsbedingung ${}y(t_{0})=y_{0}$ .

Definition:Lösung des Anfangswertproblems

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine Teilmenge und es sei

f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),

eine Funktion. Es sei ${}(t_{0},y_{0})\in U$ vorgegeben. Dann nennt man eine Funktion

y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),

auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ eine Lösung des Anfangswertproblems

y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},

wenn ${}y$ eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich

{}y(t_{0})=y_{0}\,

gilt.

Definition:Ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung

Eine gewöhnliche Differentialgleichung

{}y'=f(t,y)\,

heißt ortsunabhängig, wenn die Funktion ${}f$ nicht von ${}y$ abhängt, wenn also ${}f(t,y)=g(t)$ mit einer Funktion ${}g$ in der einen Variablen ${}t$ gilt.

Definition:Zeitunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung

Eine gewöhnliche Differentialgleichung

{}y'=f(t,y)\,

heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion ${}f$ nicht von ${}t$ abhängt, wenn also ${}f(t,y)=h(y)$ mit einer Funktion ${}h$ in der einen Variablen ${}y$ gilt.

Definition:Homogene lineare gewöhnliche eindimensionale Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung der Form

{}y'=g(t)y\,

mit einer Funktion ( ${}I$ reelles Intervall)

g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),

heißt gewöhnliche homogene lineare eindimensionale Differentialgleichung.

Definition:Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung der Form

{}y'=g(t)y+h(t)\,

mit zwei auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktionen ${}t\mapsto g(t)$ und ${}t\mapsto h(t)$ heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.

Definition:Gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen

Eine Differentialgleichung der Form

{}y'=g(t)\cdot h(y)\,

mit zwei Funktionen (dabei sind ${}I$ und ${}J$ reelle Intervalle)

g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),

und

h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),

heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

Definition:Differenzierbare Kurve in einem Punkt

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

f\colon I\longrightarrow V

eine Abbildung. Dann heißt ${}f$ in ${}t\in I$ differenzierbar, wenn der Limes

\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}

existiert. Dieser Limes heißt dann die Ableitung von ${}f$ in ${}t$ und wird mit

f'(t)

bezeichnet.

Definition:Differenzierbare Kurve

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

f\colon I\longrightarrow V

eine Abbildung. Dann heißt ${}f$ differenzierbar, wenn ${}f$ in jedem Punkt ${}t\in I$ differenzierbar ist. Die Abbildung

I\longrightarrow V,\,t\longmapsto f'(t),

heißt dann die Ableitung von ${}f$ .

Definition:Länge eines Streckenzugs

Zu einer Punktfolge

{}P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}\in \mathbb {R} ^{n}\,

nennt man

{}L(P_{0},\ldots ,P_{k})=\sum _{i=1}^{k}d{\left(P_{i},P_{i-1}\right)}\,

die Gesamtlänge des Streckenzugs ${}[P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]$ .

Definition:Streckenzug zu einer Unterteilung

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

eine Abbildung. Zu einer Unterteilung

{}a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b\,

nennt man

{}[P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]=[f(t_{0}),f(t_{1}),\ldots ,f(t_{k})]\,

den zugehörigen Streckenzug.

Definition:Rektifizierbare Kurve

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

eine Abbildung. Dann nennt man

{}L(f)={\operatorname {sup} \,(L(f(t_{0}),\ldots ,f(t_{k})),a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b{\text{ Unterteilung}},\,k\in \mathbb {N} )}\,

die Kurvenlänge von ${}f$ . Wenn ${}L(f)$ endlich ist, so heißt die Kurve ${}f$ rektifizierbar.

Definition:Richtungsableitung in einem Punkt

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale normierte Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, und ${}f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Weiter sei ${}P\in G$ ein Punkt und ${}v\in V$ ein fixierter Vektor. Dann heißt ${}f$ differenzierbar in ${}P$ in Richtung ${}v$ , falls der Grenzwert

\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}

existiert. In diesem Fall heißt dieser Grenzwert die Ableitung von ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}v$ . Er wird mit

{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}

bezeichnet.

Definition:Richtungsableitung

Seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, sei ${}f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung und ${}v\in V$ ein fixierter Vektor. Dann heißt ${}f$ differenzierbar in Richtung ${}v$ , falls ${}f$ in jedem Punkt ${}P\in G$ in Richtung ${}v$ differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung

D_{v}f\colon G\longrightarrow W,\,P\longmapsto {\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)},

die Richtungsableitung von ${}f$ in Richtung ${}v$ .

Definition:Polynomiale Funktion

Eine Funktion

f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),

die man als eine Summe der Form

{}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x^{\nu }=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,

mit ${}a_{\nu }\in {\mathbb {K} }$ schreiben kann, wobei nur endlich viele ${}a_{\nu }\neq 0$ sind, heißt polynomiale Funktion.

Definition:Partiell differenzierbar in einem Punkt

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und sei eine Abbildung ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}$ durch

{}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))\,

gegeben. Es sei ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in G$ ein Punkt. Für fixierte Indizes ${}i$ und ${}j$ betrachten wir die Abbildung

I\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x_{i}\longmapsto f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),

(wobei

{}I

ein reelles Intervall (bzw. eine offene Kreisscheibe) mit

${}a_{i}\in I$ derart sei, dass ${}\{(a_{1},\ldots ,a_{i-1})\}\times I\times \{(a_{i+1},\ldots ,a_{n})\}\subseteq G$ gilt) als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen ${}a_{k}$ , ${}k\neq i$ , fixiert seien. Ist diese Funktion in ${}a_{i}$ differenzierbar, so heißt ${}f_{j}$ partiell differenzierbar in ${}P$ bezüglich der Koordinate ${}x_{i}$ . Man bezeichnet diese Ableitung (welche ein Element in ${}{\mathbb {K} }$ ist) mit

{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)

und nennt sie die ${}i$ -te partielle Ableitung von ${}f_{j}$ in ${}P$ .

Die Abbildung ${}f$ heißt partiell differenzierbar im Punkt ${}P$ , falls für alle ${}i$ und ${}j$ die partiellen Ableitungen in ${}P$ existieren. Die ${}i$ -te partielle Ableitung von ${}f$ in ${}P$ wird mit

{}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P):={\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\right)}\,

bezeichnet.

Definition:Partiell differenzierbar

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und sei eine Abbildung

f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),

gegeben. Dann heißt ${}f$ partiell differenzierbar, wenn ${}f$ in jedem Punkt ${}P\in G$ partiell differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung

{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,P\longmapsto {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)={\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\right)},

die ${}i$ -te partielle Ableitung von ${}f$ .

Definition:Jacobi-Matrix

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und sei eine Abbildung

f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),

gegeben, die in ${}P\in G$ partiell differenzierbar sei. Dann heißt die Matrix

{}\operatorname {Jak} (f)_{P}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,

die Jacobi-Matrix zu ${}f$ im Punkt ${}P$ .

Definition:Höhere Richtungsableitung

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$ - Vektorräume,

f\colon G\longrightarrow W

eine Abbildung auf einer offenen Menge ${}G\subseteq V$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ Vektoren in ${}V$ . Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von ${}f$ in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung ${}v_{n}$ existiert. Sie wird mit

D_{v_{n}}(...(D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f))\ldots )

bezeichnet.

Definition:n-mal stetig differenzierbar

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$ - Vektorräume und

f\colon G\longrightarrow W

eine Abbildung auf einer offenen Menge ${}G\subseteq V$ . Man sagt, dass ${}f$ ${}n$ -mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}n$ Vektoren aus ${}V$ die höhere Richtungsableitung

D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f)\ldots )

in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert und stetig ist.

Definition:Totale Differenzierbarkeit

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$ - Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ differenzierbar (oder total differenzierbar) im Punkt ${}P\in G$ , wenn es eine ${}{\mathbb {K} }$ - lineare Abbildung ${}L\colon V\rightarrow W$ mit der Eigenschaft

{}\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,

gibt, wobei ${}r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in ${}0$ stetige Abbildung mit ${}r(0)=0$ ist und die Gleichung für alle ${}v\in V$ mit ${}P+v\in U{\left(P,\delta \right)}\subseteq G$ gilt.

Diese lineare Abbildung ${}L$ heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von ${}\varphi$ an der Stelle ${}P$ und wird mit

\left(D\varphi \right)_{P}

bezeichnet.

Definition:Linearform

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Eine lineare Abbildung

V\longrightarrow K

heißt eine Linearform auf ${}V$ .

Definition:Dualraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Dann heißt der Homomorphismenraum

{}{V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,

der Dualraum zu ${}V$ .

Definition:Bilinearform

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Eine Abbildung

V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,

heißt Bilinearform, wenn für alle ${}v\in V$ die induzierten Abbildungen

V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,

und für alle ${}w\in V$ die induzierten Abbildungen

V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,

${}K$ - linear sind.

Definition:Nicht ausgeartete Bilinearform

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Eine Bilinearform

V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,

heißt nicht ausgeartet, wenn für alle ${}v\in V,\,v\neq 0$ , die induzierten Abbildungen

V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,

und für alle ${}w\in V,\,w\neq 0$ , die induzierten Abbildungen

V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,

nicht die Nullabbildung sind.

Definition:Niveaumenge

Zu einer Funktion

f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} },

wobei ${}G$ ein metrischer Raum sei, nennt man zu ${}c\in {\mathbb {K} }$ die Menge

{}N_{c}={\left\{x\in G\mid f(x)=c\right\}}\,

die Niveaumenge zu ${}f$ zum Wert ${}c$ .

Definition:Gradient

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen und

f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}

eine in ${}P\in G$ differenzierbare Funktion. Dann nennt man den eindeutig bestimmten Vektor ${}w\in V$ mit

{}{\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}=\left\langle w,v\right\rangle \,

für alle ${}v\in V$ den Gradienten von ${}f$ in ${}P$ . Er wird mit

\operatorname {Grad} \,f(P)

bezeichnet.

Definition:Kritischer Punkt

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen und

f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}

eine differenzierbare Funktion. Dann heißt ${}P\in G$ ein kritischer Punkt von ${}f$ (oder ein stationärer Punkt), wenn

{}\left(Df\right)_{P}=0\,

ist. Andernfalls spricht man von einem regulären Punkt.

Definition:Hesse-Form

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und

f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zu ${}P\in G$ heißt die Abbildung

\operatorname {Hess} _{P}\,f\colon V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto D_{u}D_{v}f(P),

die Hesse-Form im Punkt ${}P\in G$ .

Definition:Hesse-Matrix

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und

f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis ${}v_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,n$ , von ${}V$ gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen ${}D_{i}:=D_{v_{i}}$ , ${}i=1,\ldots ,n$ . Zu ${}P\in G$ heißt dann die Matrix

{\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}

die Hesse-Matrix zu ${}f$ im Punkt ${}P$ bezüglich der gegebenen Basis.

Definition:Gramsche Matrix (Bilinearform)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$ . Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ . Dann heißt die ${}n\times n$ - Matrix

\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}

die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis.

Definition:Symmetrische Bilinearform

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$ . Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn

{}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,

für alle ${}v,w\in V$ gilt.

Definition:Definitheit einer symmetrischen Bilinearform

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ . Diese Bilinearform heißt

positiv definit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle ${}v\in V$ , ${}v\neq 0$ ist.
negativ definit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle <0$ für alle ${}v\in V$ , ${}v\neq 0$ ist.
positiv semidefinit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ ist.
negativ semidefinit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle \leq 0$ für alle ${}v\in V$ ist.
indefinit, wenn ${}\left\langle -,-\right\rangle$ weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.

Definition:Typ einer symmetrischen Bilinearform

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ . Man sagt, dass eine solche Bilinearform den Typ

(p,q)

besitzt, wobei

{}p:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ positiv definit}}\right)}}\,

und

{}q:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ negativ definit}}\right)}}\,

ist.

Definition:Taylor-Polynom

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge,

f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}

eine ${}k$ -mal stetig-differenzierbare Funktion und ${}P\in G$ . Dann heißt

\sum _{r={\left(r_{1},\ldots ,r_{n}\right)},\,\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}

das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq k$ zu ${}f$ in ${}P$ .

Definition:Cauchy-Folge (metrischer Raum)

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem metrischen Raum ${}M$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in \mathbb {R}$ , ${}\epsilon >0$ , gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung

{}d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\leq \epsilon \,

gilt.

Definition:Vollständiger metrischer Raum

Ein metrischer Raum ${}M$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ${}M$ konvergiert.

Definition:Lipschitz-stetig

Es sei

f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ . Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl ${}c\geq 0$ mit

{}d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,

für alle ${}x,y\in L$ gibt.

Definition:Stark kontrahierend

Es sei

f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ . Dann heißt ${}f$ stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl ${}c<1$ gibt mit

{}d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,

für alle ${}x,y\in L$ .

Definition:Diffeomorphismus

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume und ${}U_{1}\subseteq V_{1}$ und ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ offene Teilmengen. Eine Abbildung

\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}

heißt ${}C^{k}$ -Diffeomorphismus, wenn ${}\varphi$ bijektiv und ${}k$ -mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung

\varphi ^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}

ebenfalls ${}k$ -mal stetig differenzierbar ist.

Definition:Regulärer Punkt

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$ offen, sei ${}P\in G$ und sei

\varphi \colon G\longrightarrow W

eine in ${}P$ differenzierbare Abbildung. Dann heißt ${}P$ ein regulärer Punkt von ${}\varphi$ , wenn

{}\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}={\min {\left(\dim _{}{\left(V\right)},\dim _{}{\left(W\right)}\right)}}\,

ist. Andernfalls heißt ${}P$ ein kritischer Punkt oder ein singulärer Punkt.

Definition:Faser

Zu einer Abbildung

\varphi \colon L\longrightarrow M

zwischen zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ heißt zu ${}y\in M$ die Menge

{}F_{y}={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=y\right\}}\,

die Faser von ${}\varphi$ über ${}y$ .

Definition:Tangentialraum an Faser

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, es sei ${}G\subseteq V$ offen und sei

\varphi \colon G\longrightarrow W

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt, in dem das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ surjektiv sei, und sei ${}Y$ die Faser von ${}\varphi$ durch ${}P$ . Dann nennt man

{}T_{P}Y:=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}={\left\{v\in V\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}\,

den Tangentialraum an die Faser ${}Y$ in ${}P$ .

Definition:Vektorfeld

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und ${}U\subseteq V$ eine offene Menge. Dann nennt man eine Abbildung

f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),

ein Vektorfeld (auf ${}U$ ).

Definition:Lipschitz-Bedingung für Vektorfelder

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),

ein Vektorfeld auf ${}U$ . Man sagt, dass das Vektorfeld ${}f$ einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl ${}L\geq 0$ mit

{}\Vert {f(t,u)-f(t,v)}\Vert \leq L\cdot \Vert {u-v}\Vert \,

für alle ${}t\in I$ und ${}u,v\in U$ gibt.

Definition:Lokale Lipschitz-Bedingung für Vektorfelder

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),

ein Vektorfeld auf ${}U$ . Man sagt, dass das Vektorfeld ${}f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt ${}(t,v)\in I\times U$ eine offene Umgebung

{}(t,v)\in I'\times U'\subseteq I\times U\,

derart gibt, dass das auf ${}I'\times U'$ eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.

Definition:Gradientenfeld

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}U\subseteq V$ offen und

h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}

eine differenzierbare Funktion. Dann nennt man die Abbildung

U\longrightarrow V,\,P\longmapsto \operatorname {Grad} \,h(P),

das zugehörige Gradientenfeld.

Definition:Differentialgleichung der Ordnung n

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und

h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck

{}y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,

eine Differentialgleichung der Ordnung ${}n$ .

Definition:Homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

{}v'=Mv\,,

wobei

{}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),

sind, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.

Definition:Inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

{}v'=Mv+z\,,

wobei

{}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),

sind und wobei

z\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto z(t)={\begin{pmatrix}z_{1}(t)\\\vdots \\z_{n}(t)\end{pmatrix}},

eine Abbildung ist, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem. Die Abbildung ${}z$ heißt dabei Störabbildung.

Definition:Homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

Eine Differentialgleichung der Form

{}v'=Mv\,,

wobei

{}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,

eine Matrix mit Einträgen ${}a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Definition:Inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

{}v'=Mv+z\,,

wobei ${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}$ eine Matrix mit Einträgen ${}a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist und

z\colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}

eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Definition:Fahne

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum der Dimension ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ Dann heißt eine Kette von Untervektorräumen

{}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,

eine Fahne in ${}V$ .

Definition:Invarianter Untervektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Untervektorraum ${}U\subseteq V$ ${}\varphi$ -invariant, wenn

{}\varphi (U)\subseteq U\,

gilt.

Definition:Invariante Fahne

Es sei ${}V$ ein Vektorraum der Dimension ${}n$ und

f\colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Eine Fahne

{}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}\,

heißt ${}f$ -invariant, wenn ${}f(V_{i})\subseteq V_{i}$ für alle ${}i=0,1,\ldots ,n-1,n$ ist.

Definition:Trigonalisierbare lineare Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlich-dimensionaler ${}K$ - Vektorraum und

f\colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann heißt ${}f$ trigonalisierbar, wenn ${}V$ eine ${}f$ - invariante Fahne besitzt.

Definition:Fundamentalsystem

Es sei

{}v'=Mv\,

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.