Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Definitionsliste
Es sei ein reelles Intervall mit den Grenzen . Dann heißt eine Funktion
eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung
von derart gibt, dass auf jedem offenen Teilintervall konstant ist.
Es sei ein reelles Intervall mit den Grenzen und sei
eine Treppenfunktion zur Unterteilung und den Werten , . Dann heißt
das Treppenintegral von auf .
Es sei ein beschränktes Intervall und sei
eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion
eine obere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist. Eine Treppenfunktion
heißt eine untere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist.
Es sei ein beschränktes Intervall und sei
eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion
von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt das Treppenintegral
ein oberes Treppenintegral (oder eine Obersumme) von auf .
Es sei ein beschränktes Intervall und sei
eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion
von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt
ein unteres Treppenintegral (oder eine Untersumme) von auf .
Es sei ein beschränktes Intervall und sei
eine nach unten beschränkte Funktion. Dann heißt das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von das Unterintegral von .
Es sei ein beschränktes Intervall und sei
eine nach oben beschränkte Funktion. Dann heißt das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von das Oberintegral von .
Es sei ein kompaktes Intervall und sei
eine Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.
Es sei ein kompaktes Intervall. Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
heißt das Oberintegral (das nach Definition mit dem Unterintegral übereinstimmt) das bestimmte Integral von über . Es wird mit
bezeichnet.
Es sei ein reelles Intervall und sei
eine Riemann-integrierbare Funktion und . Dann heißt die Funktion
die Integralfunktion zu zum Startpunkt .
Es sei offen und sei
eine Funktion. Eine Funktion
heißt Stammfunktion zu , wenn auf differenzierbar ist und für alle gilt.
Zu Polynomen , , heißt die Funktion
wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.
Es sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es sei
eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum . Dann heißt der Grenzwert (oder Limes) von in , wenn es für jedes ein gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ist . In diesem Fall schreibt man
Es sei ein metrischer Raum und es sei
eine Abbildung. Dann heißt der Grenzwert von für , wenn es für jedes ein gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes , , ist .
Es sei ein Intervall, ein (uneigentlicher) Randpunkt von und . Es sei eine stetige Funktion
gegeben. Man sagt, dass das uneigentliche Integral zu für existiert, wenn der Grenzwert
existiert. In diesem Fall schreibt man für diesen Grenzwert auch
und nennt dies das uneigentliche Integral von nach
Es sei ein Intervall mit den beiden (uneigentlichen) Randpunkten und von . Es sei eine stetige Funktion
gegeben. Man sagt, dass das (beidseitig) uneigentliche Integral
existiert, wenn für ein die beiden einseitig uneigentlichen Integrale
existieren. In diesem Fall setzt man
und nennt dies das uneigentliche Integral zu von nach .
Für , , heißt die Funktion
die Fakultätsfunktion.
Es sei eine Teilmenge und es sei
eine Funktion. Dann nennt man
die (gewöhnliche) Differentialgleichung zu (oder zum Vektorfeld oder zum Richtungsfeld ).
Es sei eine Teilmenge und es sei
eine Funktion. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung
heißt eine Funktion
auf einem (mehrpunktigen) Intervall eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Es ist für alle .
- Die Funktion ist differenzierbar.
- Es ist für alle .
Es sei eine Teilmenge und es sei
eine Funktion. Es sei vorgegeben. Dann nennt man
das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung .
Es sei eine Teilmenge und es sei
eine Funktion. Es sei vorgegeben. Dann nennt man eine Funktion
auf einem Intervall eine Lösung des Anfangswertproblems
wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich
gilt.
Eine gewöhnliche Differentialgleichung
heißt ortsunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also mit einer Funktion in der einen Variablen gilt.
Eine gewöhnliche Differentialgleichung
heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also mit einer Funktion in der einen Variablen gilt.
Eine Differentialgleichung der Form
mit einer Funktion ( reelles Intervall)
heißt gewöhnliche homogene lineare eindimensionale Differentialgleichung.
Eine Differentialgleichung der Form
mit zwei auf einem Intervall definierten Funktionen und heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.
Eine Differentialgleichung der Form
mit zwei Funktionen (dabei sind und reelle Intervalle)
und
heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
Es sei ein reelles Intervall, ein euklidischer Vektorraum und
eine Abbildung. Dann heißt in differenzierbar, wenn der Limes
existiert. Dieser Limes heißt dann die Ableitung von in und wird mit
bezeichnet.
Es sei ein reelles Intervall, ein euklidischer Vektorraum und
eine Abbildung. Dann heißt differenzierbar, wenn in jedem Punkt differenzierbar ist. Die Abbildung
heißt dann die Ableitung von .
Zu einer Punktfolge
nennt man
die Gesamtlänge des Streckenzugs .
Es sei ein kompaktes Intervall und
eine Abbildung. Zu einer Unterteilung
nennt man
den zugehörigen Streckenzug.
Es sei ein kompaktes Intervall und
eine Abbildung. Dann nennt man
die Kurvenlänge von . Wenn endlich ist, so heißt die Kurve rektifizierbar.
Es seien und endlichdimensionale normierte Vektorräume, eine offene Teilmenge, und eine Abbildung. Weiter sei ein Punkt und ein fixierter Vektor. Dann heißt differenzierbar in in Richtung , falls der Grenzwert
existiert. In diesem Fall heißt dieser Grenzwert die Ableitung von in in Richtung . Er wird mit
bezeichnet.
Seien und euklidische Vektorräume, sei eine offene Teilmenge, sei eine Abbildung und ein fixierter Vektor. Dann heißt differenzierbar in Richtung , falls in jedem Punkt in Richtung differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung
die Richtungsableitung von in Richtung .
Eine Funktion
die man als eine Summe der Form
mit schreiben kann, wobei nur endlich viele sind, heißt polynomiale Funktion.
Es sei offen und sei eine Abbildung durch
gegeben. Es sei ein Punkt. Für fixierte Indizes und betrachten wir die Abbildung
derart sei, dass gilt) als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen , , fixiert seien. Ist diese Funktion in differenzierbar, so heißt partiell differenzierbar in bezüglich der Koordinate . Man bezeichnet diese Ableitung (welche ein Element in ist) mit
und nennt sie die -te partielle Ableitung von in .
Die Abbildung heißt partiell differenzierbar im Punkt , falls für alle und die partiellen Ableitungen in existieren. Die -te partielle Ableitung von in wird mit
bezeichnet.
Es sei offen und sei eine Abbildung
gegeben. Dann heißt partiell differenzierbar, wenn in jedem Punkt partiell differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung
die -te partielle Ableitung von .
Es sei offen und sei eine Abbildung
gegeben, die in partiell differenzierbar sei. Dann heißt die Matrix
die Jacobi-Matrix zu im Punkt .
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume,
eine Abbildung auf einer offenen Menge und Vektoren in . Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von in Richtung existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung existiert. Sie wird mit
bezeichnet.
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und
eine Abbildung auf einer offenen Menge . Man sagt, dass -mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl von Vektoren aus die höhere Richtungsableitung
in Richtung existiert und stetig ist.
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, eine offene Menge und eine Abbildung. Dann heißt differenzierbar (oder total differenzierbar) im Punkt , wenn es eine - lineare Abbildung mit der Eigenschaft
gibt, wobei eine in stetige Abbildung mit ist und die Gleichung für alle mit gilt.
Diese lineare Abbildung heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von an der Stelle und wird mit
bezeichnet.
Es sei ein Körper und sei ein - Vektorraum. Eine lineare Abbildung
heißt eine Linearform auf .
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann heißt der Homomorphismenraum
der Dualraum zu .
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Eine Abbildung
heißt Bilinearform, wenn für alle die induzierten Abbildungen
und für alle die induzierten Abbildungen
- linear sind.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Eine Bilinearform
heißt nicht ausgeartet, wenn für alle , die induzierten Abbildungen
und für alle , die induzierten Abbildungen
nicht die Nullabbildung sind.
Zu einer Funktion
wobei ein metrischer Raum sei, nennt man zu die Menge
die Niveaumenge zu zum Wert .
Es sei ein euklidischer Vektorraum, offen und
eine in differenzierbare Funktion. Dann nennt man den eindeutig bestimmten Vektor mit
für alle den Gradienten von in . Er wird mit
bezeichnet.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen und
eine differenzierbare Funktion. Dann heißt ein kritischer Punkt von (oder ein stationärer Punkt), wenn
ist. Andernfalls spricht man von einem regulären Punkt.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Menge und
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zu heißt die Abbildung
die Hesse-Form im Punkt .
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Menge und
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis , , von gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen , . Zu heißt dann die Matrix
die Hesse-Matrix zu im Punkt bezüglich der gegebenen Basis.
Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler - Vektorraum und eine Bilinearform auf . Es sei eine Basis von . Dann heißt die - Matrix
die Gramsche Matrix von bezüglich dieser Basis.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und eine Bilinearform auf . Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn
für alle gilt.
Es sei ein reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform . Diese Bilinearform heißt
- positiv definit, wenn für alle , ist.
- negativ definit, wenn für alle , ist.
- positiv semidefinit, wenn für alle ist.
- negativ semidefinit, wenn für alle ist.
- indefinit, wenn weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform . Man sagt, dass eine solche Bilinearform den Typ
besitzt, wobei
und
ist.
Es sei eine offene Teilmenge,
eine -mal stetig-differenzierbare Funktion und . Dann heißt
das Taylor-Polynom vom Grad zu in .
Eine Folge in einem metrischen Raum heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung
gilt.
Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert.
Es sei
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl mit
für alle gibt.
Es sei
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Dann heißt stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl gibt mit
für alle .
Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume und und offene Teilmengen. Eine Abbildung
heißt -Diffeomorphismus, wenn bijektiv und -mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung
ebenfalls -mal stetig differenzierbar ist.
Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei offen, sei und sei
eine in differenzierbare Abbildung. Dann heißt ein regulärer Punkt von , wenn
ist. Andernfalls heißt ein kritischer Punkt oder ein singulärer Punkt.
Zu einer Abbildung
zwischen zwei Mengen und heißt zu die Menge
die Faser von über .
Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, es sei offen und sei
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ein Punkt, in dem das totale Differential surjektiv sei, und sei die Faser von durch . Dann nennt man
den Tangentialraum an die Faser in .
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall und eine offene Menge. Dann nennt man eine Abbildung
ein Vektorfeld (auf ).
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und
ein Vektorfeld auf . Man sagt, dass das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl mit
für alle und gibt.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und
ein Vektorfeld auf . Man sagt, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt eine offene Umgebung
derart gibt, dass das auf eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.
Es sei ein euklidischer Vektorraum, offen und
eine differenzierbare Funktion. Dann nennt man die Abbildung
das zugehörige Gradientenfeld.
Es sei ein offenes Intervall, offen und
eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck
eine Differentialgleichung der Ordnung .
Es sei ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form
wobei
eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen
sind, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.
Es sei ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form
wobei
eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen
sind und wobei
eine Abbildung ist, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem. Die Abbildung heißt dabei Störabbildung.
Eine Differentialgleichung der Form
wobei
eine Matrix mit Einträgen ist, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Es sei ein offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form
wobei eine Matrix mit Einträgen ist und
eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum der Dimension . Dann heißt eine Kette von Untervektorräumen
eine Fahne in .
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Untervektorraum -invariant, wenn
gilt.
Es sei ein Vektorraum der Dimension und
eine lineare Abbildung. Eine Fahne
heißt -invariant, wenn für alle ist.
Es sei ein Körper, ein endlich-dimensionaler - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Dann heißt trigonalisierbar, wenn eine - invariante Fahne besitzt.
Es sei
mit ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.