Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Definitionsliste

Definition:Treppenfunktion

Es sei ein reelles Intervall mit den Grenzen . Dann heißt eine Funktion

eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

von derart gibt, dass auf jedem offenen Teilintervall konstant ist.



Definition:Treppenintegral

Es sei ein reelles Intervall mit den Grenzen und sei

eine Treppenfunktion zur Unterteilung und den Werten , . Dann heißt

das Treppenintegral von auf .



Definition:Obere Treppenfunktion

Es sei ein beschränktes Intervall und sei

eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion

eine obere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist. Eine Treppenfunktion

heißt eine untere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist.



Definition:Oberes Treppenintegral

Es sei ein beschränktes Intervall und sei

eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion

von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt das Treppenintegral

ein oberes Treppenintegral (oder eine Obersumme) von auf .



Definition:Unteres Treppenintegral

Es sei ein beschränktes Intervall und sei

eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion

von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt

ein unteres Treppenintegral (oder eine Untersumme) von auf .



Definition:Unterintegral

Es sei ein beschränktes Intervall und sei

eine nach unten beschränkte Funktion. Dann heißt das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von das Unterintegral von .



Definition:Oberintegral

Es sei ein beschränktes Intervall und sei

eine nach oben beschränkte Funktion. Dann heißt das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von das Oberintegral von .



Definition:Riemann-integrierbar (kompaktes Intervall)

Es sei ein kompaktes Intervall und sei

eine Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.



Definition:Bestimmtes Integral

Es sei ein kompaktes Intervall. Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

heißt das Oberintegral (das nach Definition mit dem Unterintegral übereinstimmt) das bestimmte Integral von über . Es wird mit

bezeichnet.



Definition:Integralfunktion

Es sei ein reelles Intervall und sei

eine Riemann-integrierbare Funktion und . Dann heißt die Funktion

die Integralfunktion zu zum Startpunkt .



Definition:Stammfunktion

Es sei offen und sei

eine Funktion. Eine Funktion

heißt Stammfunktion zu , wenn auf differenzierbar ist und für alle gilt.



Definition:Rationale Funktion

Zu Polynomen , , heißt die Funktion

wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.



Definition:Grenzwert einer Abbildung

Es sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es sei

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum . Dann heißt der Grenzwert (oder Limes) von in , wenn es für jedes ein gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ist . In diesem Fall schreibt man



Definition:Grenzwert einer Funktion gegen unendlich

Es sei ein metrischer Raum und es sei

eine Abbildung. Dann heißt der Grenzwert von für , wenn es für jedes ein gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes , , ist .



Definition:Uneigentliches Integral

Es sei ein Intervall, ein (uneigentlicher) Randpunkt von und . Es sei eine stetige Funktion

gegeben. Man sagt, dass das uneigentliche Integral zu für existiert, wenn der Grenzwert

existiert. In diesem Fall schreibt man für diesen Grenzwert auch

und nennt dies das uneigentliche Integral von nach



Definition:Beidseitig uneigentliches Integral

Es sei ein Intervall mit den beiden (uneigentlichen) Randpunkten und von . Es sei eine stetige Funktion

gegeben. Man sagt, dass das (beidseitig) uneigentliche Integral

existiert, wenn für ein die beiden einseitig uneigentlichen Integrale

existieren. In diesem Fall setzt man

und nennt dies das uneigentliche Integral zu von nach .



Definition:Fakultätsfunktion

Für , , heißt die Funktion

die Fakultätsfunktion.



Definition:Gewöhnliche Differentialgleichung

Es sei eine Teilmenge und es sei

eine Funktion. Dann nennt man

die (gewöhnliche) Differentialgleichung zu (oder zum Vektorfeld oder zum Richtungsfeld ).



Definition:Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung

Es sei eine Teilmenge und es sei

eine Funktion. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung

heißt eine Funktion

auf einem (mehrpunktigen) Intervall eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Es ist für alle .
  2. Die Funktion ist differenzierbar.
  3. Es ist für alle .


Definition:Anfangswertproblem

Es sei eine Teilmenge und es sei

eine Funktion. Es sei vorgegeben. Dann nennt man

das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung .



Definition:Lösung des Anfangswertproblems

Es sei eine Teilmenge und es sei

eine Funktion. Es sei vorgegeben. Dann nennt man eine Funktion

auf einem Intervall eine Lösung des Anfangswertproblems

wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich

gilt.



Definition:Ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung

Eine gewöhnliche Differentialgleichung

heißt ortsunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also mit einer Funktion in der einen Variablen gilt.



Definition:Zeitunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung

Eine gewöhnliche Differentialgleichung

heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also mit einer Funktion in der einen Variablen gilt.



Definition:Homogene lineare gewöhnliche eindimensionale Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung der Form

mit einer Funktion ( reelles Intervall)

heißt gewöhnliche homogene lineare eindimensionale Differentialgleichung.



Definition:Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung der Form

mit zwei auf einem Intervall definierten Funktionen und heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.



Definition:Gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen

Eine Differentialgleichung der Form

mit zwei Funktionen (dabei sind und reelle Intervalle)

und

heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.



Definition:Differenzierbare Kurve in einem Punkt

Es sei ein reelles Intervall, ein euklidischer Vektorraum und

eine Abbildung. Dann heißt in differenzierbar, wenn der Limes

existiert. Dieser Limes heißt dann die Ableitung von in und wird mit

bezeichnet.



Definition:Differenzierbare Kurve

Es sei ein reelles Intervall, ein euklidischer Vektorraum und

eine Abbildung. Dann heißt differenzierbar, wenn in jedem Punkt differenzierbar ist. Die Abbildung

heißt dann die Ableitung von .



Definition:Länge eines Streckenzugs

Zu einer Punktfolge

nennt man

die Gesamtlänge des Streckenzugs .



Definition:Streckenzug zu einer Unterteilung

Es sei ein kompaktes Intervall und

eine Abbildung. Zu einer Unterteilung

nennt man

den zugehörigen Streckenzug.



Definition:Rektifizierbare Kurve

Es sei ein kompaktes Intervall und

eine Abbildung. Dann nennt man

die Kurvenlänge von . Wenn endlich ist, so heißt die Kurve rektifizierbar.



Definition:Richtungsableitung in einem Punkt

Es seien und endlichdimensionale normierte Vektorräume, eine offene Teilmenge, und eine Abbildung. Weiter sei ein Punkt und ein fixierter Vektor. Dann heißt differenzierbar in in Richtung , falls der Grenzwert

existiert. In diesem Fall heißt dieser Grenzwert die Ableitung von in in Richtung . Er wird mit

bezeichnet.



Definition:Richtungsableitung

Seien und euklidische Vektorräume, sei eine offene Teilmenge, sei eine Abbildung und ein fixierter Vektor. Dann heißt differenzierbar in Richtung , falls in jedem Punkt in Richtung differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung

die Richtungsableitung von in Richtung .



Definition:Polynomiale Funktion

Eine Funktion

die man als eine Summe der Form

mit schreiben kann, wobei nur endlich viele sind, heißt polynomiale Funktion.



Definition:Partiell differenzierbar in einem Punkt

Es sei offen und sei eine Abbildung durch

gegeben. Es sei ein Punkt. Für fixierte Indizes und betrachten wir die Abbildung

(wobei ein reelles Intervall (bzw. eine offene Kreisscheibe) mit

derart sei, dass gilt) als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen , , fixiert seien. Ist diese Funktion in differenzierbar, so heißt partiell differenzierbar in bezüglich der Koordinate . Man bezeichnet diese Ableitung (welche ein Element in ist) mit

und nennt sie die -te partielle Ableitung von in .

Die Abbildung heißt partiell differenzierbar im Punkt , falls für alle und die partiellen Ableitungen in existieren. Die -te partielle Ableitung von in wird mit

bezeichnet.



Definition:Partiell differenzierbar

Es sei offen und sei eine Abbildung

gegeben. Dann heißt partiell differenzierbar, wenn in jedem Punkt partiell differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung

die -te partielle Ableitung von .



Definition:Jacobi-Matrix

Es sei offen und sei eine Abbildung

gegeben, die in partiell differenzierbar sei. Dann heißt die Matrix

die Jacobi-Matrix zu im Punkt .



Definition:Höhere Richtungsableitung

Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume,

eine Abbildung auf einer offenen Menge und Vektoren in . Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von in Richtung existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung existiert. Sie wird mit

bezeichnet.



Definition:n-mal stetig differenzierbar

Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und

eine Abbildung auf einer offenen Menge . Man sagt, dass -mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl von Vektoren aus die höhere Richtungsableitung

in Richtung existiert und stetig ist.



Definition:Totale Differenzierbarkeit

Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, eine offene Menge und eine Abbildung. Dann heißt differenzierbar (oder total differenzierbar) im Punkt , wenn es eine - lineare Abbildung mit der Eigenschaft

gibt, wobei eine in stetige Abbildung mit ist und die Gleichung für alle mit gilt.

Diese lineare Abbildung heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von an der Stelle und wird mit

bezeichnet.



Definition:Linearform

Es sei ein Körper und sei ein - Vektorraum. Eine lineare Abbildung

heißt eine Linearform auf .



Definition:Dualraum

Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann heißt der Homomorphismenraum

der Dualraum zu .



Definition:Bilinearform

Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Eine Abbildung

heißt Bilinearform, wenn für alle die induzierten Abbildungen

und für alle die induzierten Abbildungen

- linear sind.



Definition:Nicht ausgeartete Bilinearform

Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Eine Bilinearform

heißt nicht ausgeartet, wenn für alle , die induzierten Abbildungen

und für alle , die induzierten Abbildungen

nicht die Nullabbildung sind.



Definition:Niveaumenge

Zu einer Funktion

wobei ein metrischer Raum sei, nennt man zu die Menge

die Niveaumenge zu zum Wert .



Definition:Gradient

Es sei ein euklidischer Vektorraum, offen und

eine in differenzierbare Funktion. Dann nennt man den eindeutig bestimmten Vektor mit

für alle den Gradienten von in . Er wird mit

bezeichnet.



Definition:Kritischer Punkt

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen und

eine differenzierbare Funktion. Dann heißt ein kritischer Punkt von (oder ein stationärer Punkt), wenn

ist. Andernfalls spricht man von einem regulären Punkt.



Definition:Hesse-Form

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Menge und

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zu heißt die Abbildung

die Hesse-Form im Punkt .



Definition:Hesse-Matrix

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Menge und

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis , , von gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen , . Zu heißt dann die Matrix

die Hesse-Matrix zu im Punkt bezüglich der gegebenen Basis.



Definition:Gramsche Matrix (Bilinearform)

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler - Vektorraum und eine Bilinearform auf . Es sei eine Basis von . Dann heißt die - Matrix

die Gramsche Matrix von bezüglich dieser Basis.



Definition:Symmetrische Bilinearform

Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und eine Bilinearform auf . Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn

für alle gilt.



Definition:Definitheit einer symmetrischen Bilinearform

Es sei ein reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform . Diese Bilinearform heißt

  1. positiv definit, wenn für alle , ist.
  2. negativ definit, wenn für alle , ist.
  3. positiv semidefinit, wenn für alle ist.
  4. negativ semidefinit, wenn für alle ist.
  5. indefinit, wenn weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.


Definition:Typ einer symmetrischen Bilinearform

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform . Man sagt, dass eine solche Bilinearform den Typ

besitzt, wobei

und

ist.



Definition:Taylor-Polynom

Es sei eine offene Teilmenge,

eine -mal stetig-differenzierbare Funktion und . Dann heißt

das Taylor-Polynom vom Grad zu in .



Definition:Cauchy-Folge (metrischer Raum)

Eine Folge in einem metrischen Raum heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

gilt.



Definition:Vollständiger metrischer Raum

Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert.



Definition:Lipschitz-stetig

Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl mit

für alle gibt.



Definition:Stark kontrahierend

Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Dann heißt stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl gibt mit

für alle .



Definition:Diffeomorphismus

Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume und und offene Teilmengen. Eine Abbildung

heißt -Diffeomorphismus, wenn bijektiv und -mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung

ebenfalls -mal stetig differenzierbar ist.



Definition:Regulärer Punkt

Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei offen, sei und sei

eine in differenzierbare Abbildung. Dann heißt ein regulärer Punkt von , wenn

ist. Andernfalls heißt ein kritischer Punkt oder ein singulärer Punkt.



Definition:Faser

Zu einer Abbildung

zwischen zwei Mengen und heißt zu die Menge

die Faser von über .



Definition:Tangentialraum an Faser

Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, es sei offen und sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ein Punkt, in dem das totale Differential surjektiv sei, und sei die Faser von durch . Dann nennt man

den Tangentialraum an die Faser in .



Definition:Vektorfeld

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall und eine offene Menge. Dann nennt man eine Abbildung

ein Vektorfeld (auf ).



Definition:Lipschitz-Bedingung für Vektorfelder

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Man sagt, dass das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl mit

für alle und gibt.



Definition:Lokale Lipschitz-Bedingung für Vektorfelder

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Man sagt, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt eine offene Umgebung

derart gibt, dass das auf eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.



Definition:Gradientenfeld

Es sei ein euklidischer Vektorraum, offen und

eine differenzierbare Funktion. Dann nennt man die Abbildung

das zugehörige Gradientenfeld.



Definition:Differentialgleichung der Ordnung n

Es sei ein offenes Intervall, offen und

eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck

eine Differentialgleichung der Ordnung .



Definition:Homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem

Es sei ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

wobei

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

sind, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.



Definition:Inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem

Es sei ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

wobei

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

sind und wobei

eine Abbildung ist, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem. Die Abbildung heißt dabei Störabbildung.



Definition:Homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

Eine Differentialgleichung der Form

wobei

eine Matrix mit Einträgen ist, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.



Definition:Inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

Es sei ein offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

wobei eine Matrix mit Einträgen ist und

eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.



Definition:Fahne

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum der Dimension . Dann heißt eine Kette von Untervektorräumen

eine Fahne in .



Definition:Invarianter Untervektorraum

Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Untervektorraum -invariant, wenn

gilt.



Definition:Invariante Fahne

Es sei ein Vektorraum der Dimension und

eine lineare Abbildung. Eine Fahne

heißt -invariant, wenn für alle ist.



Definition:Trigonalisierbare lineare Abbildung

Es sei ein Körper, ein endlich-dimensionaler - Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Dann heißt trigonalisierbar, wenn eine - invariante Fahne besitzt.



Definition:Fundamentalsystem

Es sei

mit ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.