Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 61

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der ganzen Zahlen abzählbar ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist.

Aufgabe *

Nehmen wir an, dass auf der Erde abzählbar unendlich viele Menschen leben würden, und dass jeder Mensch genau einen Euro besitzt. Finde eine „Umverteilungsvorschrift“, die jeden Menschen zu einem Euro-Milliardär macht.

Aufgabe

Wir betrachten für je zwei Teilmengen ${}A,B\subseteq \mathbb {R}$ die symmetrische Differenz

${}A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\,.$

Wir setzen

$A\sim B,$

falls ${}A\triangle B$ abzählbar ist. Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf ${}{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {R} )$ definiert wird.

Aufgabe

Der Barbier von Sevilla behauptet, dass er genau diejenigen Bürger von Sevilla rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Weise nach, dass er lügt.

Aufgabe

Zeige, dass die Potenzmenge einer Menge niemals abzählbar unendlich ist.

Aufgabe

Wir nennen eine reelle Zahl adressierbar, wenn es einen endlichen Text (über einem fixierten endlichen Alphabet, das aus mathematischen oder sonstigen Symbolen besteht) gibt, der diese Zahl eindeutig beschreibt. Ist die Menge dieser Zahlen abzählbar? Was ergibt sich, wenn man das Diagonalargument aus dem Beweis zu Satz 61.9 anwendet?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine abzählbare Menge. Zeige, dass die Menge aller endlichen Teilmengen von ${}M$ abzählbar ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Menge der Polynome in einer Variablen mit rationalen Koeffizienten abzählbar ist.

Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass die Menge der stetigen Funktionen

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}f(\mathbb {Q} )\subseteq \mathbb {Q}$ überabzählbar ist.

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine summierbare Familie von nichtnegativen reellen Zahlen. Zeige, dass die Teilmenge

$J={\left\{i\in I\mid a_{i}\neq 0\right\}}$

abzählbar ist.