Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 61/latex
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\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {ganzen Zahlen}{}{} \definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} \definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Nehmen wir an, dass auf der Erde \definitionsverweis {abzählbar unendlich}{}{} viele Menschen leben würden, und dass jeder Mensch genau einen Euro besitzt. Finde eine \anfuehrung{Umverteilungsvorschrift}{,} die jeden Menschen zu einem Euro-Milliardär macht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten für je zwei Teilmengen
\mathl{A,B \subseteq \R}{} die
\definitionsverweis {symmetrische Differenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \triangle B
}
{ =} {(A \setminus B) \cup (B \setminus A)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mathdisp {A \sim B} { , }
falls
\mathl{A \triangle B}{}
\definitionsverweis {abzählbar}{}{}
ist. Zeige, dass dadurch eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf
\mathl{\mathfrak {P} \, (\R )}{} definiert wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der Barbier von Sevilla behauptet, dass er genau diejenigen Bürger von Sevilla rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Weise nach, dass er lügt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} einer Menge niemals \definitionsverweis {abzählbar unendlich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir nennen eine \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{} \stichwort {adressierbar} {,} wenn es einen endlichen Text \zusatzklammer {über einem fixierten endlichen Alphabet, das aus mathematischen oder sonstigen Symbolen besteht} {} {} gibt, der diese Zahl eindeutig beschreibt. Ist die Menge dieser Zahlen \definitionsverweis {abzählbar}{}{?} Was ergibt sich, wenn man das Diagonalargument aus dem Beweis zu Satz 61.9 anwendet?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {abzählbare Menge}{}{.} Zeige, dass die Menge aller \definitionsverweis {endlichen}{}{} Teilmengen von $M$ abzählbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Polynome}{}{} in einer Variablen mit \definitionsverweis {rationalen Koeffizienten}{}{} \definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mathl{f(\Q) \subseteq \Q}{}
\definitionsverweis {überabzählbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I$ eine Indexmenge und
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine
\definitionsverweis {summierbare Familie}{}{} von
\definitionsverweis {nichtnegativen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{.} Zeige, dass die Teilmenge
\mathdisp {J = { \left\{ i \in I \mid a_i \neq 0 \right\} }} { }
\definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.
}
{} {}
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