Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 67/latex

\setcounter{section}{67}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {[a,b[} {und} {[c,d[} {} zwei \definitionsverweis {halboffene Intervalle}{}{} \zusatzklammer {mit
\mathl{a\leq b}{} und
\mathl{c \leq d}{}} {} {.} Beschreibe den Durchschnitt
\mathl{[a,b[ \cap [c,d[}{} als eine disjunkte Vereinigung von halboffenen Intervallen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{\mathcal M }}{} das Mengensystem, das aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von \definitionsverweis {offenen}{}{,} abgeschlossenen, einseitig halboffenen, leeren, beschränkten oder unbeschränkten \definitionsverweis {reellen Intervallen}{}{} besteht. Zeige, dass
\mathl{{\mathcal M }}{} eine \definitionsverweis {Mengenalgebra}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine beschränkte Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die man als eine \definitionsverweis {abzählbare}{}{} \definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{} von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben kann, aber nicht als eine endliche Vereinigung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {messbare}{}{} \definitionsverweis {beschränkte Teilmenge}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda^n(T) }
{ < }{ \infty }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien endlich viele \definitionsverweis {linear unabhängige}{}{} Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_k \in \R^n}{} gegeben und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {{ \left\{ a_1v_1 + \cdots + a_kv_k \mid a_i \in [0,1] \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das dadurch erzeugte \definitionsverweis {Parallelotop}{}{.} Zeige, dass $P$ \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} eine \definitionsverweis {nichtleere}{}{} \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda^n(U) }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Zeige ebenso, dass dies für \definitionsverweis {abgeschlossene Mengen}{}{} nicht gelten muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für ein $\sigma$-\definitionsverweis {endliches Maß}{}{} $\mu$ auf $\R$ an, das auf allen Intervallen mit positiver Länge den Wert $\infty$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {injektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} eines \definitionsverweis {Parallelotops}{}{} wieder ein Parallelotop ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass sich eine Teilmenge
\mathl{T \subseteq \R}{} genau dann als eine endliche Vereinigung von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben lässt, wenn dies mit endlich vielen disjunkten rechtsseitig halboffenen Intervallen möglich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6 (3+3)}
{

Es sei ${\mathcal V }$ der \definitionsverweis {Mengen-Präring}{}{} aller Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die sich als eine endliche Vereinigung von \zusatzklammer {rechtsseitig} {} {} \definitionsverweis {halboffenen Intervallen}{}{}
\mathl{[a,b[}{} schreiben lassen. Beweise folgende Aussagen. \aufzaehlungzwei {Die zu $V$ über eine Zerlegung in disjunkte halboffene Intervalle
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V }
{ =} { [a_1,b_1[ \uplus \ldots \uplus [a_n,b_n[ }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu(V) }
{ =} { \sum_{i = 1}^n (b_i -a_i) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist wohldefiniert. } {Durch die Zuordnung
\mathl{V \mapsto \mu(V)}{} wird ein \definitionsverweis {Prämaß}{}{} auf diesem Präring definiert. }

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cantor_set_in_seven_iterations.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Cantor-Menge ist das Endprodukt des in dieser Skizze angedeuteten Ausdünnungsprozesses.} }

\bildlizenz { Cantor set in seven iterations.svg } {} {Hellisp} {Commons} {PD} {}

\inputaufgabe
{5 (1+2+2)}
{

Die
\definitionswortenp{Cantor-Menge}{} ist definiert durch
\mathdisp {C= { \left\{ \sum_{i =1}^\infty z_i 3^{-i} \mid z_i \in \{0, 2\} \text { für alle } i \in \N_+ \right\} }} { . }

a) Zeige, dass $C$ \definitionsverweis {überabzählbar}{}{} ist.

b) Zeige, dass $C$ eine \definitionsverweis {Borel-Menge}{}{} ist.

c) Zeige
\mathl{\lambda^1(C)=0}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $\R^n$. Zeige, dass das von diesen Vektoren erzeugte \definitionsverweis {Parallelotop}{}{} einen achsenparallelen Würfel \zusatzklammer {mit positiver Länge} {} {} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{12}
{

Es sei $\mu$ ein \definitionsverweis {Maß}{}{} auf dem $\R^n$, das für alle \definitionsverweis {offenen Bällen}{}{}
\mathl{U { \left( P,r \right) }}{} mit dem \definitionsverweis {Borel-Lebesgue-Maß}{}{} übereinstimmt. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu }
{ = }{ \lambda^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{(Für den zweidimensionalen Fall gibt es 10 Punkte.)} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Man gebe eine Beispiel für eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ [0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} deren \definitionsverweis {Abschluss}{}{} das \definitionsverweis {Einheitsintervall}{}{} ist, deren \definitionsverweis {Borel-Lebesgue-Maß}{}{} aber kleiner als $1$ ist.

}
{} {}