Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 67

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}[a,b[$ und ${}[c,d[$ zwei halboffene Intervalle (mit ${}a\leq b$ und ${}c\leq d$). Beschreibe den Durchschnitt ${}[a,b[\cap [c,d[$ als eine disjunkte Vereinigung von halboffenen Intervallen.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {M}}$ das Mengensystem, das aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von offenen, abgeschlossenen, einseitig halboffenen, leeren, beschränkten oder unbeschränkten reellen Intervallen besteht. Zeige, dass ${}{\mathcal {M}}$ eine Mengenalgebra ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine beschränkte Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$, die man als eine abzählbare disjunkte Vereinigung von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben kann, aber nicht als eine endliche Vereinigung.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine messbare beschränkte Teilmenge. Zeige, dass ${}\lambda ^{n}(T)<\infty$ ist.

Aufgabe

Es seien endlich viele linear unabhängige Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ gegeben und es sei

${}P={\left\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$

das dadurch erzeugte Parallelotop. Zeige, dass ${}P$ beschränkt ist.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}n\geq 1$, eine nichtleere offene Teilmenge. Zeige, dass ${}\lambda ^{n}(U)>0$ ist. Zeige ebenso, dass dies für abgeschlossene Mengen nicht gelten muss.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein ${}\sigma$- endliches Maß ${}\mu$ auf ${}\mathbb {R}$ an, das auf allen Intervallen mit positiver Länge den Wert ${}\infty$ besitzt.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ reelle Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine injektive lineare Abbildung. Zeige, dass das Bild eines Parallelotops wieder ein Parallelotop ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass sich eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$ genau dann als eine endliche Vereinigung von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben lässt, wenn dies mit endlich vielen disjunkten rechtsseitig halboffenen Intervallen möglich ist.

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ${}{\mathcal {V}}$ der Mengen-Präring aller Teilmengen ${}T\subseteq \mathbb {R}$, die sich als eine endliche Vereinigung von (rechtsseitig) halboffenen Intervallen ${}[a,b[$ schreiben lassen. Beweise folgende Aussagen.

1. Die zu ${}V$ über eine Zerlegung in disjunkte halboffene Intervalle

   ${}V=[a_{1},b_{1}[\uplus \ldots \uplus [a_{n},b_{n}[\,$

   definierte Zahl

   ${}\mu (V)=\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,$

   ist wohldefiniert.

2. Durch die Zuordnung ${}V\mapsto \mu (V)$ wird ein Prämaß auf diesem Präring definiert.

Die Cantor-Menge ist das Endprodukt des in dieser Skizze angedeuteten Ausdünnungsprozesses.

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Die Cantor-Menge ist definiert durch

$C={\left\{\sum _{i=1}^{\infty }z_{i}3^{-i}\mid z_{i}\in \{0,2\}{\text{ für alle }}i\in \mathbb {N} _{+}\right\}}.$

a) Zeige, dass ${}C$ überabzählbar ist.

b) Zeige, dass ${}C$ eine Borel-Menge ist.

c) Zeige ${}\lambda ^{1}(C)=0$.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass das von diesen Vektoren erzeugte Parallelotop einen achsenparallelen Würfel (mit positiver Länge) enthält.

Aufgabe (12 Punkte)

Es sei ${}\mu$ ein Maß auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$, das für alle offenen Bällen ${}U{\left(P,r\right)}$ mit dem Borel-Lebesgue-Maß übereinstimmt. Zeige ${}\mu =\lambda ^{n}$.

(Für den zweidimensionalen Fall gibt es 10 Punkte.)

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe eine Beispiel für eine offene Menge ${}U\subseteq [0,1]$, deren Abschluss das Einheitsintervall ist, deren Borel-Lebesgue-Maß aber kleiner als ${}1$ ist.