Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 76/latex
\setcounter{section}{76}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^2 \setminus \{ (0,0) \} } {\R^2 \setminus \{ (0,0) \} } {(u,v)} { \left( { \frac{ -u }{ u^2+v^2 } } , \, { \frac{ -v }{ u^2+v^2 } } \right) } {,} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
Auf einer Kugeloberfläche
\mathl{K \subseteq \R^3}{} nennt man einen Durchschnitt von $K$ mit einer Ebene, die durch den Kugelmittelpunkt läuft, einen \stichwort {Großkreis} {} auf $K$. Zwei Punkte
\mathbed {P,Q \in K} {}
{P \neq Q} {}
{} {} {} {,} heißen \stichwort {antipodal} {,} wenn ihre Verbindungsgerade durch den Kugelmittelpunkt läuft.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Kugeloberfläche. Zeige, dass je zwei nicht
\definitionsverweis {antipodale Punkte}{}{}
\mathbed {P,Q \in K} {}
{P \neq Q} {}
{} {} {} {,}
auf genau einem
\definitionsverweis {Großkreis}{}{}
von $K$ liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {offener Ball}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( P,r \right) }
}
{ \subseteq }{ \R^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
$C^\infty$-\definitionsverweis {diffeomorph}{}{}
zum $\R^m$ ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Bild}{}{} der \definitionsverweis {Großkreise}{}{} durch die beiden Pole auf der \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{} unter der \definitionsverweis {stereographischen Projektion}{}{} vom Nordpol aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Zeige, dass auf der
\definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{}
\mathl{K \subset \R^3}{} durch folgende Zuordnung eine
\definitionsverweis {Metrik}{}{}
festgelegt wird. Für
\mathl{P,Q \in K}{} ist
\mathl{d(P,Q)}{} die Länge des
\zusatzklammer {kürzeren} {} {} Verbindungsweges von $P$ nach $Q$ auf dem durch diese Punkte festgelegten
\definitionsverweis {Großkreis}{}{}
\zusatzklammer {berücksichtige auch die Fälle
\mathl{P=Q}{} und $P,Q$
\definitionsverweis {antipodal}{}{}} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{8}
{
Wir fixieren die beiden Punkte $N=(0,0,1)$ und $P=(1,0,0)$ auf der \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{} $K$. Es sei $G$ die Verbindungsgerade und es sei $H$ die zu $G$ senkrechte Ebene durch $N$. Führe auf $H$ einen parametrisierten Einheitskreis $E$ mit $N$ als Mittelpunkt ein. Bestimme zu $S \in E$ die Länge des \zusatzklammer {kürzeren} {} {} Weges von $N$ nach $P$ auf demjenigen Kreis, der durch den Schnitt von $K$ mit der durch \mathkor {} {N,P} {und} {S} {} gegebenen Ebene festgelegt ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgabe zum Hochladen}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Erstelle eine Animation, die die geometrischen Objekte aus Aufgabe 76.6 darstellt.
}
{} {}
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