Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 77/latex
\setcounter{section}{77}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und
\maabbdisp {f,g} {M} {\R
} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{} auf $M$. Beweise die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Die Abbildung
\maabbeledisp {f \times g} {M} {\R^2
} {x} {(f(x),g(x))
} {,} ist differenzierbar.
}{$f+g$ ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}
}{$f \cdot g$ ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}
}{Wenn $f$ keine Nullstelle besitzt, so ist auch
\mathl{f^{-1}}{} differenzierbar.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Zeige, dass dies einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\varphi^*} {C^1(N,\R)} {C^1(M,\R) } {f} {f \circ \varphi } {,} induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {halboffenes Intervall}{}{}
\mathl{[a,b[}{} keine
\definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{I=[0,1[}{} das
\zusatzklammer {nach oben} {} {}
halboffene Einheitsintervall und $S^1$ der
\definitionsverweis {Einheitskreis}{}{.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {I} {S^1
} {}
gibt, dass aber
\mathkor {} {I} {und} {S^1} {}
nicht
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine Ellipsoidoberfläche und die Einheitssphäre $C^\infty$-\definitionsverweis {diffeomorph}{}{} sind.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathl{U_1,U_2 \subseteq \R^k}{} und
\mathl{V_1,V_2 \subseteq \R^n}{}
\definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{} mit
\mathl{0 \in V_1,V_2}{} und es sei
\maabbdisp {\varphi} {U_1 \times V_1} {U_2 \times V_2
} {}
ein
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{,} der eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen
\mathkor {} {U_1 \times \{0\}} {und} {U_2 \times \{0\}} {}
induziert. Zeige, dass dann auch die Einschränkung von $\varphi$ auf
\mathl{U_1 \cong U_1 \times \{0\}}{} nach
\mathl{U_2 \cong U_2 \times \{0\}}{} ein Diffeomorphismus ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{,} die mindestens zwei Elemente besitze. Zeige, dass es
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f,g} {M} {\R
} {} gibt mit
\mathl{f,g \neq 0}{,} aber
\mathl{fg=0}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Man gebe eine \definitionsverweis {injektive}{}{} \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R} {S^2 } {,} die \zusatzklammer {als Abbildung nach $\R^3$} {} {} \definitionsverweis {rektifizierbar}{}{} ist und unendliche \definitionsverweis {Länge}{}{} besitzt, und für die \mathkor {} {\operatorname{lim}_{ t \rightarrow \infty } \, \varphi (t) = N} {und} {\operatorname{lim}_{ t \rightarrow - \infty } \, \varphi (t) = S} {} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass das Achsenkreuz keine \definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{} ist.
}
{} {}
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