Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 78

Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in M$ und ${}Q=\varphi (P)$ und es seien

$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$

zwei differenzierbare Kurven mit einem offenen Intervall ${}0\in I$ und ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$. Es seien ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ im Punkt ${}P$ tangential äquivalent. Zeige, dass auch die Verknüpfungen ${}\varphi \circ \gamma _{1}$ und ${}\varphi \circ \gamma _{2}$ tangential äquivalent in ${}Q$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Wir betrachten die folgende Menge.

$T={\left\{(U,f)\mid U\subseteq M{\text{ offen}},\,P\in U,\,f\in C^{1}(U,\mathbb {R} )\right\}}.$

Wir betrachten die Relation

$(U,f)\sim (V,g):{\text{ es gibt eine offene Menge }}W{\text{ mit }}P\in W\subseteq U\cap V{\text{ mit }}f{|}_{W}=g{|}_{W}.$

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf ${}T$ ist.
2. Zeige, dass es eine natürliche Ringstruktur auf der Menge der Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation gibt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zu jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq M$ betrachten wir die Menge ${}C^{1}(U,\mathbb {R} )$ der differenzierbaren Funktionen auf ${}U$. Es sei ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung.

1. Zeige, dass zu ${}V\subseteq U$ offen und ${}f\in C^{1}(U,\mathbb {R} )$ auch die Einschränkung ${}f{|}_{V}$ zu ${}C^{1}(V,\mathbb {R} )$ gehört.
2. Es sei ${}f\in C^{1}(M,\mathbb {R} )$. Zeige, dass ${}f=0$ genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen ${}f{|}_{U_{i}}=0$ sind.
3. Es sei eine Familie ${}f_{i}\in C^{1}(U_{i},\mathbb {R} )$ von Funktionen gegeben, die die „Verträglichkeitsbedingung“

   ${}f_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=f_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,$

   für alle ${}i,j$ erfüllen. Zeige, dass es ein ${}f\in C^{1}(M,\mathbb {R} )$ gibt mit ${}f{|}_{U_{i}}=f_{i}$ für alle ${}i$.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, ${}Y$ eine Menge und

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine Abbildung. Zeige, dass das Mengensystem

${\mathcal {T}}={\left\{V\subseteq Y\mid \varphi ^{-1}(V){\text{ ist offen in }}X\right\}}$

eine Topologie auf ${}Y$ definiert, bezüglich der ${}\varphi$ stetig ist.

Die in der vorstehenden Aufgabe eingeführte Topologie nennt man Bildtopologie.

Aufgabe

Zeige, dass auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ durch

$P\sim Q,{\text{ falls }}P-Q\in \mathbb {Z} ^{n}$

eine Äquivalenzrelation definiert wird. Die Quotientenmenge

${}Y=\mathbb {R} ^{n}/\!\!\sim =\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}\,$

sei mit der Bildtopologie zur Quotientenabbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow Y$ versehen. Zeige, dass ${}Y$ ein Hausdorff-Raum ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es seien zwei Punkte ${}P$ und ${}Q$ auf der Einheitssphäre gegeben. Zeige, dass es einen Diffeomorphismus der Sphäre in sich gibt, der ${}P$ in ${}Q$ überführt.

Aufgabe (8 Punkte)

Der Quotientenraum ${}Y=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$ sei mit der Bildtopologie versehen. Definiere auf ${}Y$ eine Mannigfaltigkeitsstruktur durch geeignete Karten. Zeige, dass die Quotientenabbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow Y$

eine differenzierbare Abbildung ist, und dass die Tangentialabbildung in jedem Punkt ein Isomorphismus ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$. Zeige, dass für eine differenzierbare Kurve

$\gamma \colon I\longrightarrow M$

mit ${}\gamma (0)=P$ und ${}a\in \mathbb {R}$ im Tangentialraum ${}T_{P}M$ die Beziehung

${}a[\gamma ]=[\lambda ]\,$

gilt, wobei ${}\lambda$ durch ${}\lambda (t):=\gamma (at)$ definiert sei.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}C^{k}$- Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$. Definiere für ${}C^{k}$- Kurven

$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$

mit ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$ eine Äquivalenzrelation, die in einer (jeder) Karte die Ableitungen bis zur Ordnung ${}k$ berücksichtigt. Wie sehen einfache Vertreter dieser Äquivalenzrelation aus? Definiere eine Vektorraumstruktur auf der Quotientenmenge und bestimme die Dimension.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$. Wir sagen, dass zwei Kurven

$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$

mit ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$ den gleichen Kurvenkeim definieren, wenn es ein ${}\epsilon >0$ mit

${}\gamma _{1}\!\mid _{[-\epsilon ,\epsilon ]}=\gamma _{2}\!\mid _{[-\epsilon ,\epsilon ]}\,$

gibt.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Kurven ${}\gamma \colon I\rightarrow M$ mit ${}\gamma (0)=P$ (und mit verschiedenen offenen Intervallen ${}0\in I$) definiert.

b) Zeige, dass differenzierbare Kurven, die den gleichen Kurvenkeim repräsentieren, auch den gleichen Tangentialvektor repräsentieren.