Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 79

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

eine Karte (also ${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen). Zeige, dass ${}\alpha$ ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine Abbildung. Es sei ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung von ${}M$. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann differenzierbar ist, wenn alle Einschränkungen ${}\varphi _{i}=\varphi {|}_{U_{i}}$ differenzierbar sind.

Aufgabe

Zeige, dass zu ${}m\leq n$ die Einbettung des Unterraumes ${}\mathbb {R} ^{m}$ in den ${}\mathbb {R} ^{n}$, die durch ${}(x_{1},\ldots ,x_{m})\mapsto (x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0)$ gegeben ist, beliebig oft differenzierbar ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer abgeschlossenen Teilmenge ${}M\subseteq \mathbb {R}$, die keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}\mathbb {R}$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ zwei disjunkte abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten des ${}\mathbb {R} ^{2}$. Zeige, dass deren Vereinigung ${}M\cup N$ ebenfalls eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, und dass diese Aussage ohne die Voraussetzung der Disjunktheit nicht gilt.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass der Graph ${}\Gamma _{f}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{n+1}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$\pi \colon TM\longrightarrow M$

das Tangentialbündel. Zeige, dass diese Projektionsabbildung stetig ist.

Aufgabe

Seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass die zugehörige Tangentialabbildung

$T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$

stetig ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (8 (3+3+2) Punkte)

Es seien ${}m,n\in \mathbb {N} _{+}$.

a) Zeige, dass die Menge

${}M={\left\{(x,y,u,v)\in \mathbb {R} ^{4}\mid ux^{m}+vy^{n}=1\right\}}\,$

eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{4}$ ist.

b) Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,u,v)\longmapsto (x,y),$

differenzierbar und in jedem Punkt ${}P\in M$ regulär ist.

c) Beschreibe die Fasern von ${}\varphi$.

Aufgabe (10 (2+3+5) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto (x^{2},x^{3}).$

a) Zeige, dass diese Abbildung differenzierbar und injektiv ist.

b) Zeige, dass ${}\varphi$ nicht in jedem Punkt regulär ist.

c) Zeige, dass das Bild von ${}\varphi$ abgeschlossen in ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist, aber keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}\varphi \colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ eine differenzierbare Abbildung und ${}M$ die Faser über ${}0\in \mathbb {R} ^{m}$. Es sei vorausgesetzt, dass das totale Differential in jedem Punkt dieser Faser surjektiv sei. Zeige, dass für ${}P\in M$ der Tangentialraum im Sinne von Definition 51.5 mit dem Tangentialraum der differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ im Punkt ${}P$ übereinstimmt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$\pi \colon TM\longrightarrow M$

das Tangentialbündel. Zeige, dass ${}TM$ selbst in natürlicher Weise eine topologische Mannigfaltigkeit ist.