R nach R^2/x nach (x^2,x^3)/Injektiv und Bild abgeschlossen/Keine Untermannigfaltigkeit/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto (x^{2},x^{3}).$

a) Zeige, dass diese Abbildung differenzierbar und injektiv ist.

b) Zeige, dass ${}\varphi$ nicht in jedem Punkt regulär ist.

c) Zeige, dass das Bild von ${}\varphi$ abgeschlossen in ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist, aber keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit

des ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist.

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