Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 80
- Aufwärmaufgaben
Zeige, dass das Produkt von zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und selbst wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
Es seien und abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten. Zeige, dass ihr Produkt eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ist.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und
die Diagonalabbildung in das Produkt . Zeige, dass die Diagonale eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist.
Betrachte die Kreislinie . Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf , also ein neutrales Element , eine differenzierbare Abbildung
und eine differenzierbare Abbildung
derart, dass mit diesen Daten zu einer kommutativen Gruppe wird.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und eine Menge mit einer Verknüpfung
und einer Abbildung
Es sei
eine surjektive Abbildung mit
für alle und . Zeige, dass ein -Vektorraum ist.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Zeige die Gleichheit .
Es sei ein Körper und ein - dimensionaler - Vektorraum. Es sei . Zeige .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass es eine Homöomorphie des Tangentialbündels der - Sphäre mit dem Produkt gibt.
In der folgenden Aufgabe wird der Begriff eines -Moduls verwendet
(das ist eine direkte Verallgemeinerung des Vektorraumsbegriffes).
Es sei ein kommutativer Ring und eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt einen -Modul, wenn eine Operation
(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien und beliebig):
- ,
- ,
- ,
- .
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, sei der Ring der differenzierbaren Funktionen auf und sei die Menge aller Vektorfelder auf .
a) Definiere eine Addition auf derart, dass zu einer kommutativen Gruppe wird.
b) Definiere eine Skalarmultiplikation
derart, dass zu einem - Modul wird.
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei ein Torus und seien zwei Punkte. Zeige, dass es eine gemeinsame Kartenumgebung derart gibt, dass die Kartenabbildung
eine Homöomorphie mit ergibt.
Aufgabe (4 Punkte)
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