Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 81
- Aufwärmaufgaben
Man gebe ein Beispiel einer surjektiven differenzierbaren Abbildung
zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung
nicht surjektiv ist.
Man gebe ein Beispiel einer injektiven differenzierbaren Abbildung
zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung
nicht injektiv ist.
Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.
Die in der folgenden Aufgabe konstruierte Basis des Dualraums heißt Dualbasis.
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit Basis . Es sei
der Dualraum zu . Zeige, dass auf die Koordinatenfunktionen , die durch
definiert sind, eine Basis von bilden.
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es seien . Zeige, dass die Abbildung
multilinear und alternierend ist.
Es sei
die durch die Matrix
gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Wir betrachten das zweite Dachprodukt mit der Standardbasis , , und der zugehörigen Dualbasis . Zeige, dass die Funktion
die Eigenschaft besitzt, dass mit dem Flächeninhalt des von und im aufgespannten Parallelogramms übereinstimmt.
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei
die durch die Matrix
gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es seien . Zeige, dass es zu jedem eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
mit gibt.
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