Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 88/latex
\setcounter{section}{88}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe diverse Kleidungsstücke als zweidimensionale \definitionsverweis {Mannigfaltigkeiten mit Rand}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Circle_on_sphere_wireframe_10deg_6r.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Circle on sphere wireframe 10deg 6r.svg } {} {Itai} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Zeige, dass sowohl das blaue als auch das rote Oberflächenstück einschließlich der Begrenzungslinie eine \definitionsverweis {Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{} ist. Was ist der Rand? Sind die beiden Mannigfaltigkeiten \definitionsverweis {diffeomorph}{}{?} Gibt es eine einfachere dazu diffeomorphe Mannigfaltigkeit?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche der folgenden Funktionen
\maabbdisp {} {\R_+} {\R
} {}
lassen sich
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
in den
\definitionsverweis {Randpunkt}{}{}
$0$ fortsetzen.
\aufzaehlungsechs{
\mathl{x^3+ \sin^{ 3 } x -e^{-x}}{,}
}{
\mathl{{ \frac{ 1 }{ x } }}{,}
}{
\mathl{\sin { \frac{ 1 }{ x } }}{,}
}{
\mathl{x \sin { \frac{ 1 }{ x } }}{,}
}{
\mathl{{ \frac{ e^{ { \frac{ 1 }{ x } } } }{ x } }}{,}
}{
\mathl{x^2 \sin { \frac{ 1 }{ x } }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{H \subset \R^n}{} ein
\definitionsverweis {Halbraum}{}{.}
Es sei
\mathl{Q\in H}{} ein Punkt und $Q \in U \subseteq H$, wobei $U$ eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
des $\R^n$ sei. Zeige, dass $Q$ kein Randpunkt von $H$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
\zusatzklammer {ohne Rand} {} {}
und $N$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{.}
Was kann man über das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M \times N}{} sagen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die abgeschlossene Kreisscheibe
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{} trage die
\definitionsverweis {Standardorientierung}{}{}
des $\R^2$. Läuft die durch die
\definitionsverweis {äußere Normale}{}{}
festgelegte Orientierung auf dem Rand
\zusatzklammer {also auf dem Einheitskreis} {} {} mit dem oder gegen den Uhrzeigersinn?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Definiere die Begriffe \stichwort {Diffeomorphismus} {,} \stichwort {totales Differential} {} und \stichwort {höhere Ableitungen} {} für \definitionsverweis {Halbräume}{}{} \zusatzklammer {bzw. offene Teilmengen davon} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{.}
Unter einem \stichwort {differenzierbaren Halbweg} {} verstehen wir jede
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\gamma} {[-\epsilon, 0]} {M
} {}
\zusatzklammer {mit \mathlk{\epsilon >0}{}} {} {.}
Definiere, wann zwei Halbwege mit
\mathl{\gamma_1(0) = \gamma_2(0) =P \in M}{} \stichwort {tangential äquivalent} {} sind, und zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation gegeben ist. Was kann man über die
\definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}
sagen?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Not-star-shaped.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Not-star-shaped.svg } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {PD} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe für den Kreisring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ x \in \R^2 \mid 1 \leq \Vert {x} \Vert \leq 2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
explizit
\definitionsverweis {Karten}{}{}
an, die zeigen, dass $M$ eine
\definitionsverweis {Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Halbebene}{}{}
$\R_{\geq 0} \times \R$ und der
\definitionsverweis {Quadrant}{}{}
\mathl{\R_{\geq 0} \times \R_{\geq 0}}{}
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Halbebene}{}{} $\R_{\geq 0} \times \R$ und der
\definitionsverweis {Quadrant}{}{}
\mathl{\R_{\geq 0} \times \R_{\geq 0}}{} nicht
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{}
sind.
}
{(Was ist hierbei der geeignete Diffeomorphiebegriff?)} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei
\mathl{M= B \left( 0,1 \right) \setminus \{ (0,1), (0,-1)\} \subseteq \R^2}{,} also die
\definitionsverweis {abgeschlossene Kreisscheibe}{}{,} aus der man zwei Randpunkte herausgenommen hat. Es sei
\mathl{N={]{-1},1[} \times [-1,1]}{} das Produkt eines offenen und eines abgeschlossenen Intervalls. Zeige, dass
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {diffeomorphe}{}{}
\definitionsverweis {Mannigfaltigkeiten mit Rand}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathl{V_1,V_2 \subseteq \R^n}{}
\definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {V_1} {V_2
} {}
ein
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{,}
der eine
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
zwischen
\mathkor {} {V_1 \cap H} {und} {V_2 \cap H} {}
induziert und damit auch zwischen
\mathkor {} {V_1 \cap \partial H} {und} {V_2 \cap \partial H} {}
\zusatzklammer {$H$ bezeichnet den
\definitionsverweis {Halbraum}{}{}
und $\partial H$ seinen Rand} {} {.}
Zeige, dass die Einschränkung auf den Rand ebenfalls ein
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Die abgeschlossene Einheitskugel
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{} trage die
\definitionsverweis {Standardorientierung}{}{} des $\R^3$. Bestimme, ob die beiden Tangentenvektoren
\mathkor {} {(2,1,0)} {und} {(3,-1,0)} {}
am Nordpol
\mathl{(0,0,1)}{} die durch die
\definitionsverweis {äußere Normale}{}{} induzierte Orientierung auf dem Rand
\zusatzklammer {also auf der Einheitssphäre} {} {} repräsentieren oder nicht?
}
{} {}
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