Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 87

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der ${}1$- Differentialform

${}\omega =(x^{2}-y^{3})dx+x^{3}y^{2}dy\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$.

Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der ${}1$- Differentialform

${}\omega =xy^{2}dx+yzdy+x^{3}dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der ${}2$- Differentialform

$\omega =xdx\wedge dy+xy^{2}zdy\wedge dz+xe^{y}dx\wedge dz$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe *

Es seien ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen und sei

$\psi \colon W\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

${}d(\psi ^{*}f)=\psi ^{*}(df)\,$

gilt, wobei ${}\psi ^{*}$ das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.

Aufgabe *

Zeige, dass die ${}1$- Differentialform ${}\omega =(2x-\sin y)dx-x\cos ydy$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ geschlossen und auch exakt ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die äußere Ableitung der ${}1$- Differentialform

$\omega =xy^{2}z^{3}dx+xyzdy+x^{3}yz^{4}dz$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die äußere Ableitung der ${}2$- Differentialform

$\omega =xy^{2}dx\wedge dy+(x^{3}-y^{2}z^{4})dy\wedge dz+\sin(xy)dx\wedge dz$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es seien ${}\omega _{1},\ldots ,\omega _{r}$ Differentialformen auf ${}U$, wobei ${}\omega _{i}$ eine ${}k_{i}$- Differentialform sei. Finde und beweise eine Formel für

$d(\omega _{1}\wedge \ldots \wedge \omega _{r}).$

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Differentialform

${}\omega ={\left(2xy+3x^{2}-ye^{xy}\right)}dx+{\left(x^{2}-xe^{xy}+8y\right)}dy\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ geschlossen und auch exakt ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Begründe die einzelnen Gleichungen in der Gleichungskette im Beweis zu Lemma 87.2.

Gehe dabei folgendermaßen vor.

1. Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile

   [[/Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

   schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
2. Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort

    {{:Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Begründungsfenster}}

   ein.

3. Es erscheint die Gleichungskette. Wenn Sie auf eines der Gleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Abschätzung ein.
4. Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort

   [[Ihr Benutzername/Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

   hinschreiben.