Differentialform/Offene Menge/Äußere Ableitung/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}k\in \mathbb {N}$ und es sei

$d\colon {\mathcal {E}}_{1}^{k}(U)\longrightarrow {\mathcal {E}}_{0}^{k+1}(U),\,\omega \longmapsto d\omega ,$

die äußere Ableitung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die äußere Ableitung

   $d\colon {\mathcal {E}}_{1}^{0}(U)\longrightarrow {\mathcal {E}}_{0}^{1}(U),$

   ist das totale Differential.

2. Die äußere Ableitung ist ${}\mathbb {R}$-linear.
3. Für ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(U)$ und ${}\tau \in {\mathcal {E}}_{1}^{\ell }(U)$ gilt die Produktregel

   ${}d(\omega \wedge \tau )=(d\omega )\wedge \tau +(-1)^{k}\omega \wedge (d\tau )\,.$

   Für ${}k=0$ ist dies als

   ${}d(f\tau )=(df)\wedge \tau +fd\tau \,$

   zu lesen.

4. Für jede zweimal stetig differenzierbare Differentialform ${}\omega$ ist ${}d(d\omega )=0$.
5. Für eine stetig differenzierbare Abbildung (mit ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offen)

   $\psi \colon W\longrightarrow U$

   und jedes ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(U)$ gilt für die zurückgezogenen Differentialformen

   ${}d(\psi ^{*}\omega )=\psi ^{*}(d\omega )\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen