(1) folgt unmittelbar aus der Definition
(die leere Menge ist die einzige relevante Indexmenge).
(2). Die Linearität folgt direkt aus der Definition, der
Linearität
des
totalen Differentials
und der
Multilinearität
des
äußeren Produktes.
(3). Es seien
die Koordinaten auf
. Wegen der Linearität von
und der
Multilinearität des Dachprodukts
können wir die beiden Differentialformen als
und
mit Indexmengen
und
schreiben. Es gilt dann
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}d(\omega \wedge \tau )&=d{\left(fdx_{I}\wedge gdx_{J}\right)}\\&=d{\left((fg)dx_{I}\wedge dx_{J}\right)}\\&=\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial (fg)}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}\\&=\sum _{s=1}^{n}{\left(g{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}+f{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}\right)}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}\\&=\sum _{s=1}^{n}g{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}+\sum _{s=1}^{n}f{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}\\&=\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge gdx_{J}+\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge fdx_{I}\wedge dx_{J}\\&=d(fdx_{I})\wedge gdx_{J}+\sum _{s=1}^{n}(-1)^{k}fdx_{I}\wedge {\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{J}\\&=d(fdx_{I})\wedge gdx_{J}+(-1)^{k}fdx_{I}\wedge d(gdx_{J}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ab170947bc3583ccec3c61e61b39589521c5cd)
(4). Für eine
-Form
ist unter Verwendung von
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}d\omega &=\sum _{j=1}^{n}d(g_{j}dx_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g_{j}}{\partial x_{i}}}dx_{i}\wedge dx_{j}\right)}\\&=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\left({\frac {\partial g_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}\right)}dx_{i}\wedge dx_{j}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3463104dddb99828f562fa0f331991b732e4066e)
Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion
ist
mit den
partiellen Ableitungen
,
und daher ist
nach
dem Satz von Schwarz.
Für eine Differentialform vom Grad
setzen wir
an und erhalten
-
![{\displaystyle {}d(d\omega )=d(df\wedge dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9aed9dad65256eb86e86a738e94cab646f0e10b)
Nach der Produktregel (3) ist dieser Ausdruck eine Summe von
Dachprodukten, bei denen jeweils ein „Dachfaktor“ die Form
besitzt.
(5). Wir schreiben
-
![{\displaystyle {}\psi _{i}=x_{i}\circ \psi \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce2aa279e5f54fffa7d4bf957403116d079eaa8)
Wegen der Linearität der äußeren Ableitung (2) und
der Linearität des Zurückziehens von Differentialformen
kann man
mit
ansetzen. Da das Zurückziehen nach
Aufgabe
und
Aufgabe
mit der Multiplikation mit skalaren Funktionen und mit dem Dachprodukt verträglich ist, gilt unter Verwendung der Produktregel (3), der Regel (4) und
der Kettenregel
(im Sinne von
Aufgabe)
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left(\psi ^{*}\omega \right)}&=d{\left(\psi ^{*}{\left(fdx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\right)}\right)}\\&=d{\left(\psi ^{*}(f)\psi ^{*}{\left(dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\right)}\right)}\\&=d{\left(\psi ^{*}(f){\left(\psi ^{*}dx_{i_{1}}\right)}\wedge \ldots \wedge {\left(\psi ^{*}dx_{i_{k}}\right)}\right)}\\&=d{\left(\psi ^{*}(f)d\psi _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d\psi _{i_{k}}\right)}\\&=d{\left(\psi ^{*}(f)\right)}\wedge {\left(d\psi _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d\psi _{i_{k}}\right)}+(\psi ^{*}(f))d{\left(d\psi _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d\psi _{i_{k}}\right)}\\&=d{\left(\psi ^{*}(f)\right)}\wedge {\left(d\psi _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d\psi _{i_{k}}\right)}\\&=\psi ^{*}(df)\wedge d\psi _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge d\psi _{i_{k}}\\&=\psi ^{*}(df)\wedge \psi ^{*}{\left(dx_{i_{1}}\right)}\wedge \ldots \wedge \psi ^{*}{\left(dx_{i_{k}}\right)}\\&=\psi ^{*}{\left(df\wedge dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\right)}\\&=\psi ^{*}{\left(d{\left(fdx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\right)}\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681b2c51141b9a61f6e6e16bed259d0f8d529644)