Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 86

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},$

eine Linearform. Es sei ${}M$ der Graph dieser Funktion, den wir als riemannsche Mannigfaltigkeit auffassen. Zeige, dass zwischen den Volumina entsprechender Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{n}$ und des Graphen eine konstante Beziehung besteht.

Aufgabe

Diskutiere die Rotationsfläche ${}S$ zu

$M={\left\{(\sin {\frac {1}{y}},y)\mid y>0\right\}}$

um die ${}x$-Achse ${}A$. Ist ${}S$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}\mathbb {R} ^{3}\setminus A$? Ist die Menge ${}S$ abgeschlossen in ${}\mathbb {R} ^{3}$? Ist der Abschluss von ${}S$ in ${}\mathbb {R} ^{3}$ eine Mannigfaltigkeit?

Aufgabe

Bestätige, dass die in Beispiel 86.5, Beispiel 86.6 und Beispiel 86.7 angegebenen Abbildungen ihr Bild auf der Einheitssphäre haben und bis auf eine Nullmenge surjektiv sind.

Aufgabe

Bestimme die (partiell definierten) Umkehrabbildungen zu den in Beispiel 86.5, Beispiel 86.6 und Beispiel 86.7 angegebenen Abbildungen.

Aufgabe

Zeige, dass Längenkreise und Breitenkreise auf der Erdkugel senkrecht aufeinander stehen.

Aufgabe

Wie lange ist der ${}30$-ste Breitenkreis auf der Erde (man setze den Erdradius mit ${}6370$ km an).

Aufgabe

Bestimme das Infimum und das Supremum der Länge der Bilder der Großkreise auf der in Beispiel 86.5 beschriebenen Karte.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten den Graphen ${}M$ der Funktion

$\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y+x^{2},$

als riemannsche Mannigfaltigkeit. Berechne den Flächeninhalt des Graphen oberhalb des Quadrats ${}[-1,1]\times [-1,1]$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$M={\left\{(x,x^{2})\mid x\in \mathbb {R} \right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$

die Parabel, also der Graph der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}.$

Zeige, dass die zugehörige Rotationsfläche um die ${}x$-Achse keine Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Man stelle eine Kugeloberfläche als Rotationsfläche dar und berechne damit den Inhalt der Kugeloberfläche.

Aufgabe (4 Punkte)

Man stelle einen Torus als Rotationsfläche dar und berechne damit seinen Flächeninhalt.

Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme den „Abstand“ zwischen Osnabrück und Bangalore (den Erdradius mit ${}6370$ km ansetzen) in den beiden folgenden Sinnen.

a) Entlang der Erdoberfläche (Luftlinie).

b) Durch die Erde (Maulwurfslinie).

Aufgabe (6 Punkte)

Wie lange ist das Bild des ${}30$-sten Breitenkreises auf den in Beispiel 86.5, Beispiel 86.6 und Beispiel 86.7 beschriebenen Karten (man setze den Erdradius mit ${}6370$ km an)?