Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 85



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Wir betrachten eine offene Menge als riemannsche Mannigfaltigkeit. Was ist die kanonische Volumenform auf ?


Aufgabe

Wir betrachten eine offene Menge als riemannsche Mannigfaltigkeit. Was besagt die in Lemma 85.3 beschriebene Korrespondenz zwischen Vektorfeldern und - Differentialformen in dieser Situation?


Aufgabe

Es sei eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die kanonische Volumenform dadurch festgelegt ist, dass sie in jedem Punkt für eine die Orientierung repräsentierende Orthonormalbasis den Wert besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit die Kartenabbildungen

im Allgemeinen keine Isometrie

induzieren (wenn mit und mit dem Standardskalarprodukt versehen ist).




Aufgaben zum Abgeben

Bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit definiert man zu einem Tangentialvektor die Norm durch .

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Zuordnung

stetig ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Einheitssphäre , wobei die Koordinaten des mit bezeichnet seien. Für welche Punkte bilden die Einschränkungen von und auf eine Basis des Kotangentialraums .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass mit der durch die Hesse-Form zur Funktion

gegebenen Bilinearform eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe für jeden Punkt der Einheitssphäre eine Orthonormalbasis in an (bezüglich der induzierten riemannschen Struktur).


Aufgabe (6 Punkte)

Im sei das Ellipsoid

und die Ebene
gegeben. Berechne den Flächeninhalt des Durchschnitts .


Aufgabe (6 Punkte)

Man erstelle eine Computergraphik, die die in Bemerkung ***** beschriebene Situation anhand einer Fläche im veranschaulicht.



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