Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 85

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Wir betrachten eine offene Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ als riemannsche Mannigfaltigkeit. Was ist die kanonische Volumenform auf ${}V$ ?

Wir betrachten eine offene Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ als riemannsche Mannigfaltigkeit. Was besagt die in Lemma 85.3 beschriebene Korrespondenz zwischen Vektorfeldern und ${}1$ - Differentialformen in dieser Situation?

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die kanonische Volumenform ${}\omega$ dadurch festgelegt ist, dass sie in jedem Punkt für eine die Orientierung repräsentierende Orthonormalbasis den Wert ${}1$ besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit die Kartenabbildungen

\alpha \colon U\longrightarrow V

im Allgemeinen keine Isometrie

T_{P}(\alpha )\colon T_{P}U\longrightarrow T_{\alpha (P)}V

induzieren (wenn ${}T_{P}U$ mit ${}\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ und ${}T_{\alpha (P)}V=\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt versehen ist).

Aufgaben zum Abgeben

Bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$ definiert man zu einem Tangentialvektor ${}v\in T_{P}M$ die Norm durch ${}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle _{P}}}$ .

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Zuordnung

TM\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,

stetig ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Einheitssphäre ${}S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ , wobei die Koordinaten des ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit ${}x,y,z$ bezeichnet seien. Für welche Punkte ${}P\in S^{2}$ bilden die Einschränkungen von ${}dx$ und ${}dy$ auf ${}S^{2}$ eine Basis des Kotangentialraums ${}T_{P}^{*}S^{2}$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}$ mit der durch die Hesse-Form zur Funktion

f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{4},

gegebenen Bilinearform eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe für jeden Punkt ${}P=(x,y,z)$ der Einheitssphäre ${}K$ eine Orthonormalbasis in ${}T_{P}K\subset \mathbb {R} ^{3}$ an (bezüglich der induzierten riemannschen Struktur).