Riemannsche Mannigfaltigkeit/Vektorfelder und 1-Formen/Fakt

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit.

Dann ist die Abbildung

${\mathcal {V}}(M)\longrightarrow {\mathcal {E}}^{1}(M),\,F\longmapsto \omega _{F},$

mit

${}{\left(\omega _{F}(P)\right)}(v):=\left\langle F(P),v\right\rangle _{P}\,,$

wobei ${}P\in M$ ist und ${}v$ einen Tangentenvektor aus ${}T_{P}M$ bezeichnet, eine Isomorphie zwischen den Vektorfeldern und den ${}1$-Formen auf ${}M$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen