Kugeloberfläche/Koordinaten von Zylinder aus/Horizontale Projektion/Flächenberechnung/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon [0,2\pi ]\times [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto \left({\sqrt {1-v^{2}}}\cos u,\,{\sqrt {1-v^{2}}}\sin u,\,v\right),$

deren Bild auf der Einheitssphäre liegt. Diese Abbildung kann man sich so vorstellen, dass zuerst das Rechteck zu einer Zylinderoberfläche gemacht wird und anschließend die Kreise des Zylinders auf die horizontalen Kreise einer Kugel mit derselben Höhe projiziert werden. Diese Abbildung ist differenzierbar mit den partiellen Ableitungen

${\frac {\partial \varphi }{\partial u}}={\begin{pmatrix}-{\sqrt {1-v^{2}}}\sin u\\{\sqrt {1-v^{2}}}\cos u\\0\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}={\begin{pmatrix}{\frac {-v}{\sqrt {1-v^{2}}}}\cos u\\{\frac {-v}{\sqrt {1-v^{2}}}}\sin u\\1\end{pmatrix}}.$

Die Einschränkung dieser Abbildung auf das offene Rechteck ist injektiv, ihr Bild ist die Einheitssphäre bis auf einen einzigen halben Längenkreis. Man kann mit diesen Koordinaten also die Kugeloberfläche berechnen. Mit der in Fakt verwendeten Notation ist

${}E={\left(1-v^{2}\right)}\sin ^{2}u+{\left(1-v^{2}\right)}\cos ^{2}u=1-v^{2}\,,$

${}F=v\sin u\cos u-v\sin u\cos u=0\,$

und

${}G={\frac {v^{2}}{1-v^{2}}}\cos ^{2}u+{\frac {v^{2}}{1-v^{2}}}\sin ^{2}u+1={\frac {v^{2}}{1-v^{2}}}+1={\frac {1}{1-v^{2}}}\,.$

Daher ist

${}{\sqrt {EG-F^{2}}}=1\,,$

d.h. diese Kartenabbildung ist flächentreu, und somit ist die Kugeloberfläche gleich

${}{\begin{aligned}A&=\int _{]-1,1[\times ]0,2\pi [}1du\wedge dv\\&=\int _{[-1,1]\times [0,2\pi ]}1\,d\lambda ^{2}\\&=2\cdot 2\pi \\&=4\pi .\end{aligned}}$