Wir betrachten die Abbildung
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deren
Bild
auf der Einheitssphäre landet. Geographisch gesprochen gibt
den Breitenkreis und
den Längenkreis des entsprechenden Punktes auf der Einheitserde an
(in geozentrischen Koordinaten; die in der Geographie verwendeten Koordinaten weichen davon leicht ab, da die Erde nicht wirklich eine Kugel ist).
Diese Abbildung ist
differenzierbar
mit den
partiellen Ableitungen
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Die
Einschränkung
dieser Abbildung auf das offene Rechteck
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ist
injektiv,
ihr Bild ist die Einheitskugel bis auf einen einzigen Längenkreis. Man kann mit diesen Koordinaten also die Kugeloberfläche berechnen. Mit der in
Fakt
verwendeten Notation ist
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![{\displaystyle {}E=\sin ^{2}u\cos ^{2}v+\sin ^{2}u\sin ^{2}v+\cos ^{2}u=\sin ^{2}u+\cos ^{2}u=1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2568c5305b4d88618631494a333f56809fea45)
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![{\displaystyle {}F=\sin u\cos u\sin v\cos v-\sin u\cos u\sin v\cos v=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7afdf16d66487143a4ea01d3c93df95f25daa30)
und
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![{\displaystyle {}G=\cos ^{2}u\sin ^{2}v+\cos ^{2}u\cos ^{2}v=\cos ^{2}u\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/facc6175e99e4ae7be9f71588d65fd234d6812f3)
Daher ist
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![{\displaystyle {}{\sqrt {EG-F^{2}}}={\sqrt {1\cdot \cos ^{2}u}}=\cos u\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75438569b2dfcaf26a34cc194579d1b81aab686)
Somit ist die Kugeloberfläche nach
dem Satz von Fubini
gleich
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}A&=\int _{]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[\times ]-\pi ,\pi [}\cos u\,du\wedge dv\\&=\int _{[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]\times [-\pi ,\pi ]}\cos u\,d\lambda ^{2}\\&=\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos u\,du\,dv\\&=\int _{-\pi }^{\pi }2\,dv\\&=4\pi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02de351deb905ba07bcb46a95344235ea6cc43cd)