Kugeloberfläche/Geozentrische Koordinaten/Flächenberechnung/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (\cos u\cos v,\cos u\sin v,\sin u),$

deren Bild auf der Einheitssphäre landet. Geographisch gesprochen gibt ${}u$ den Breitenkreis und ${}v$ den Längenkreis des entsprechenden Punktes auf der Einheitserde an (in geozentrischen Koordinaten; die in der Geographie verwendeten Koordinaten weichen davon leicht ab, da die Erde nicht wirklich eine Kugel ist). Diese Abbildung ist differenzierbar mit den partiellen Ableitungen

${\frac {\partial \varphi }{\partial u}}={\begin{pmatrix}-\sin u\cos v\\-\sin u\sin v\\\cos u\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}={\begin{pmatrix}-\cos u\sin v\\\cos u\cos v\\0\end{pmatrix}}.$

Die Einschränkung dieser Abbildung auf das offene Rechteck

${]{-{\frac {\pi }{2}}},{\frac {\pi }{2}}[}\times {]{-\pi },\pi [}$

ist injektiv, ihr Bild ist die Einheitskugel bis auf einen einzigen Längenkreis. Man kann mit diesen Koordinaten also die Kugeloberfläche berechnen. Mit der in Fakt verwendeten Notation ist

${}E=\sin ^{2}u\cos ^{2}v+\sin ^{2}u\sin ^{2}v+\cos ^{2}u=\sin ^{2}u+\cos ^{2}u=1\,,$

${}F=\sin u\cos u\sin v\cos v-\sin u\cos u\sin v\cos v=0\,$

und

${}G=\cos ^{2}u\sin ^{2}v+\cos ^{2}u\cos ^{2}v=\cos ^{2}u\,.$

Daher ist

${}{\sqrt {EG-F^{2}}}={\sqrt {1\cdot \cos ^{2}u}}=\cos u\,.$

Somit ist die Kugeloberfläche nach dem Satz von Fubini gleich

${}{\begin{aligned}A&=\int _{]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}[\times ]-\pi ,\pi [}\cos u\,du\wedge dv\\&=\int _{[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]\times [-\pi ,\pi ]}\cos u\,d\lambda ^{2}\\&=\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos u\,du\,dv\\&=\int _{-\pi }^{\pi }2\,dv\\&=4\pi .\end{aligned}}$