Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 89/latex
\setcounter{section}{89}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe eine \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{} für die \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} $\R$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe eine \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{} für den $\R^d$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Träger}{}{} der folgenden Funktionen von $\R$ nach $\R$. \aufzaehlungsieben{Eine Polynomfunktion. }{Die Sinusfunktion. }{Die Exponentialfunktion. }{Die Indikatorfunktion $e_{ \Z }$. }{Die Indikatorfunktion $e_{ \Q }$. }{Die Indikatorfunktion $e_{ [a,b] }$. }{Die Indikatorfunktion $e_{ ]a,b[ }$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
von $T$ gleich dem
\definitionsverweis {Träger}{}{}
der
\definitionsverweis {Indikatorfunktion}{}{}
\mathl{e_{ T }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{.}
Wir betrachten die Familie der
\definitionsverweis {Indikatorfunktionen}{}{}
\mathbeddisp {e_{ P }} {}
{P \in X} {}
{} {} {} {.}
Welche Eigenschaften einer
\zusatzklammer {dieser Überdeckung} {} {}
\definitionsverweis {untergeordneten Partition der Eins}{}{}
erfüllt diese Familie?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{}
\mathbed {A_n= [-n,n]} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} der
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{}
und die offene Überdeckung
\mathbed {W_n= A_{n+1}^{o} \setminus A_{n-1}} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
\zusatzklammer {es sei
\mathl{A_{-1}= \emptyset}{}} {} {.}
Finde eine Überdeckung von $\R$ mit
\definitionsverweis {offenen Intervallen}{}{,}
die die Eigenschaften
aus Lemma 89.8
\zusatzklammer {und seinem Beweis} {} {} erfüllt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathbed {A_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{} eines
\definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{} $X$. Zeige, dass die Beziehung
\mathdisp {A_{n+1} \setminus A_n^{o} \subseteq A_{n+2}^{o} \setminus A_{n-1}} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe zur
\definitionsverweis {offenen Überdeckung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R
}
{ =} { \bigcup_{n \in \Z} ]n,n+3[
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine untergeordnete stetige
\definitionsverweis {Partition der Eins}{}{}
an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{}
\mathbeddisp {A_n = B \left( 0,n \right)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
des $\R^2$ und die
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mathbeddisp {W_n= A_{n+1}^{o} \setminus A_{n-1}} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
\zusatzklammer {es sei
\mathl{A_{-1}= \emptyset}{}} {} {.}
Finde eine Überdeckung des $\R^2$ mit
\definitionsverweis {offenen Kreisscheiben}{}{,}
die die Eigenschaften
aus Lemma 89.8
\zusatzklammer {und seinem Beweis} {} {}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{,} der keine \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{} besitzt.
}
{} {}
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