Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/38/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 7 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 6 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {injektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {.}
}{Der \stichwort {Betrag} {} einer komplexen Zahl
\mathl{z=a+b { \mathrm i}}{.}
}{Die
\stichwort {Stetigkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}
}{Die \stichwort {Ableitungsfunktion} {} zu einer differenzierbaren Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {.}
}{Die \stichwort {Matrizenmultiplikation} {.}
}{Eine \stichwort {invertierbare} {} $n \times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Die
\stichwort {Division mit Rest} {}
im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.}{Die Ableitung des Sinus und des Kosinus.}{Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt \anfuehrung{Bitte nicht gleichzeitig sprechen}{.} Bringe diese Aussage mit dem Konzept von \definitionsverweis {disjunkten Mengen}{}{} in Verbindung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{
\aufzaehlungzwei {Finde eine ganzzahlige Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(x,y)
}
{ \in }{ \Z \times \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2-y^3+2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Zeige, dass
\mathdisp {\left( { \frac{ 383 }{ 1000 } } , \, { \frac{ 129 }{ 100 } } \right)} { }
eine Lösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2-y^3+2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Berechne die Gaußklammer von
\mathl{ - { \frac{ 133 }{ 33 } } }{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme für das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {-6 X^{9}-5X^8 -4X^7+ { \frac{ 1 }{ 9 } } X^6 + X^2 +X
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu $X^6$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass eine konvergente reelle Folge beschränkt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \frac{ \ln (x+1) }{ \sin \left( 2 x \right) } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass die reelle Exponentialfunktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {e^x } {,} keine rationale Funktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\R^2$ mit Mittelpunkt
\mathl{(-5,5)}{,} der durch den Punkt
\mathl{(-4,-1)}{} läuft.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { -3x + x^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} {-3+3x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist diese Funktion auf dem offen Intervall
\mathl{]-1,1[}{} streng fallend und damit injektiv
\zusatzklammer {mit dem Bildintervall
\mathl{]-2,2 [}{}} {} {.}
Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(y)
}
{ =} {\sum_{k = 0}^\infty b_k y^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Umkehrfunktion, die wir als eine Potenzreihe ansetzen. Bestimme aus der Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(g(f(x))
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Koeffizienten
\mathl{b_0,b_1,b_2,b_3,b_4}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme für die Funktion
\mathdisp {f(x)= 2^x + { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } \right) }^x} { }
die Extrema.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
mit
\mathdisp {\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx=0} { }
für jede stetige Funktion
\maabb {g} {[a,b]} {\R_{\geq 0}
} {.}
Zeige $f=0$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Ein
\definitionsverweis {lineares Ungleichungssystem}{}{}
sei durch die Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y+x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1-y
}
{ \leq} {-x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5y -2x
}
{ \leq} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
gegeben.
a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $V$ der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad $\leq 4$ mit der Basis
\mathbeddisp {x^i} {}
{0 \leq i \leq 4} {}
{} {} {} {.}
Erstelle für die Ableitungsabbildung
\maabbeledisp {\varphi} {V} {V
} {P} {P'
} {,}
die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis.
Bestimme den Kern und das Bild dieser Abbildung sowie deren Dimensionen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \circ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \circ A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten.
}
{} {}