Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/38/Klausur



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 1 3 1 2 4 7 2 4 1 4 4 6 4 4 6 5 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine injektive Abbildung
  2. Der Betrag einer komplexen Zahl .
  3. Die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt .

  4. Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion .
  5. Die Matrizenmultiplikation.
  6. Eine invertierbare -Matrix über einem Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .
  2. Die Ableitung des Sinus und des Kosinus.
  3. Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.


Aufgabe * (1 Punkt)

In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt „Bitte nicht gleichzeitig sprechen“. Bringe diese Aussage mit dem Konzept von disjunkten Mengen in Verbindung.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

  1. Finde eine ganzzahlige Lösung für die Gleichung
  2. Zeige, dass

    eine Lösung für die Gleichung

    ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne die Gaußklammer von .


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme für das Polynom

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu .


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente reelle Folge beschränkt ist.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt .


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die reelle Exponentialfunktion

keine rationale Funktion ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

Wegen

ist diese Funktion auf dem offen Intervall streng fallend und damit injektiv (mit dem Bildintervall ). Dabei ist . Es sei

die Umkehrfunktion, die wir als eine Potenzreihe ansetzen. Bestimme aus der Bedingung

die Koeffizienten .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für die Funktion

die Extrema.


Aufgabe * (6 Punkte)

Sei

stetig mit

für jede stetige Funktion . Zeige .


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad mit der Basis

Erstelle für die Ableitungsabbildung

die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis.

Bestimme den Kern und das Bild dieser Abbildung sowie deren Dimensionen.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es seien und Matrizen über einem Körper mit

Zeige, dass dann auch

gilt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten.